Morgansche Regel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Jojo1988 |
| Aufgabe | Seien B und I Mengen und sei für alle i [mm] \in [/mm] I eine Menge [mm] A_i [/mm] gegeben. Zeigen sie:
1) B \ [mm] \bigcup_{i\in I} A_i [/mm] = [mm] \bigcap_{i\in I} [/mm] (B \ [mm] A_i),
[/mm]
2) B \ [mm] \bigcap_{i\in I} A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i\in I} [/mm] (B \ [mm] A_i)
[/mm]
|
Wir haben in der ersten Woche ein Übungsblatt bekommen mit diesen aufgaben und da wir mengen so nicht behandelt haben und mir wikipedia ebenfalls nicht weitergeholfen hat, wollte ich euch fragen, ob ihr mir evtl. einen Lösungsansatz geben könntet.
Lieben Dank Johanna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Ich helfe dir mal beim ersten beweis in der ersten richtung, denn du mußt die mengeninklusionen [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset [/mm] zeigen.
Ich zeige dir mal den Weg für [mm] \subset
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] B / [mm] (\bigcap_{i=1}A_{i}), [/mm] d.h. x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in \bigcap_{i=1}A_{i}. [/mm] Das heißt, x [mm] \not\in \bigcap_{i=1}A_{i}, [/mm] dass es mindestens einen Index [mm] i_{0} [/mm] gibt mit x [mm] \not\in A_{i0}. [/mm] Für dieses [mm] i_{0} [/mm] ist x [mm] \in [/mm] B / [mm] A_{i0}, [/mm] und damit gilt x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n} (B/A_{i}) [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Jojo1988 |
Hey, erstmal vielen dank für deine schnelle antwort. Was mich interessieren würde, das ist doch der Beweis für die (2), oder? Folglich muss ich für die (1) den Beweis für $ [mm] \supset [/mm] $ noch zeigen, oder?
Anfang bzw. Versuch zu (1):
x [mm] \in [/mm] B [mm] \backslash (\bigcap_{i=I}^{n} [/mm] Ai) d.h. x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in \bigcap_{i=I}^{n} [/mm] Ai , d.h. ????
Ich steh bei Mengenaufgaben irgendwie immer auf dem Schlauch....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Jojo1988 |
Eine Anmerkung zu meinem vorherigen Mitteilung:
Ich wusste nicht, wie ich den Text bearbeiten kann...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo Johanna....
du mußt bei solchen Mengenaufgaben immer die Inklusionen [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset [/mm] zeigen, das heißt, einmal die RIchtung => und einmal die Richtung <=.
Die eine Richtung für den ersten Beweis habe ich dir ja gezeigt. Versuche diesen mal umzukehren. Du mußt den Weg über die Indexmenge I wählen.....
Versuche es mal, poste deine Lösung und ich helfe dir.. bringt dir ja nichts, wenn ich dir hier die Lösung schreibe :)
lieben gruß
Susan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 19.10.2008 | | Autor: | Jojo1988 |
Also, erstmal habe ich ncoh eine Frage, kann es sein, dass du zuerst (2) bewiesen hast, also die "Hinrichtung"?? Weil auf (1) trifft das irgendwie nicht ganz zu, oder stehe ich auf dem schlauch? Ach nee, das ist die "Rückrichtung" von (1), gell?
Nun jedenfalls habe ich es jetzt so probiert:
(1) ->: x [mm] \in [/mm] B \ [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] Ai -> x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] Ai -> x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] und x [mm] \not\in [/mm] ai für alle i [mm] \in [/mm] I, d.h. es gibt ein Komplement zu Ai, in welchem x [mm] \in [/mm] Ai für alle i [mm] \in [/mm] I -> x [mm] \in \bigcap_{i=1}^{n} (B\Ai)
[/mm]
Und ich habe gelernt, dass sich jegliche Zeichen also auch das [mm] \bigcup_{i=1}^n [/mm] zu [mm] \bigcap_{i=1}^{n} [/mm] umdreht, wenn es ein komplement in der Formel gibt.....
Ich weiß auch, dass man bei Mengen Hin-/und Rückrichtung zeigen muss, nur irgendwie waren die Aufgaben bis jetzt immer schön einfach, was man auch logisch nachvollziehen konnte.... und das da irgendwie nicht, also ich finds logisch, aber der beweis, wahrscheinlich denke ich zu kompliziert...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Entschuldige bitte, da ht sich eine 1 statt einer 2 eingeschlichen. Ich habe dir die "hinrichtung" von 2. gezeigt....
Also du kannst [mm] \bigcup_{i=1}A_{i} [/mm] nicht in [mm] \bigcup_{i=1} [/mm] und [mm] A_{i} [/mm] zerlegen.....
Schau mal, du mußt jetzt zeigen, daß aus x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n}(B/A_{i}) [/mm] folgt....
Überleg dir mal, was die Aussage x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n}(B/A_{i}) [/mm] genau bedeutet.... nämlich, daß es ein [mm] i_{0} [/mm] aus der Indexmenge I gibt, für das x .... (hier selbst weiterdenken).
Was kannst du dann aus dieser Aussage für eine Schlußfolgerung für den Durchschnitt aller Mengen [mm] A_{i} [/mm] folgern?
Und dann hast du es schon fast....
Und die zweite Aussage beweist sich wirklich fast ähnlich!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 18.10.2008 | | Autor: | martin2 |
hmm so hab ich das besonders bei der ersten aufgabe gut hinbekommen, bei der zweiten mehr oder weniger mäßig. eigentlich ist es klar, nur was unklar ist, ist wieso speziell der letzte schritt aus dem vorletzten so einfach folgt. da fehlt mir irgendwie die anschaulichkeit. ein [mm] "\forall" [/mm] ist besser anschaulich als ein [mm] "\exists" [/mm] was mich und diesen fall betrifft.
> Für dieses [mm]i_{0}[/mm] ist x [mm]\in[/mm] B / [mm]A_{i0},[/mm] und damit gilt x [mm]\in \bigcup_{i=1}^{n} (B/A_{i})[/mm]
>
|
|
|
| |
|
Hallo Martin.
Der Schluß ist im Prinzip ganz einfach....
Wenn ein Element in einer beliebigen Menge enthalten ist und ich vereine diese Menge mit ganz vielen weiteren beliebingen Mengen, dann ist mein Element aber doch in der Vereinigungsmenge auf jeden Fall enthalten, oder?
Für den Durchscnitt gilt analoges:
Wenn mein Element in einer Menge nicht enthalten ist und ich bilde den Durchschnitt dieser Menge mit vielen anderen Mengen, dann ist mein Element nicht im Durchschnitt enthalten (weil wenn es in einer Menge fehlt, fehlt es im Durchschnitt, weil dort ja immer nur das enthalten ist, was in allen Mengen gleichzeitig!!! enthalten ist)
Diese beiden Aussagen können euch bei der Beweisführung auch helfen!
liebe grüße
Susann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 20.10.2008 | | Autor: | martin2 |
das ist klar, also im allgemeinen. bei mir haperts nur an diesem aktuellen beispiel.
wenn:
[mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: [mm] x\in [/mm] B \ [mm] A_{i}
[/mm]
wieso daraus zwangsläufig der letzte schritt, also die teilmenge folgt. bei der a) ist es klar weil da ein für alle steht, das finde ich "logischer"^^ aber die b) kann ich mir nicht gut veranschaulichen hier oder verstehen in diesem schritt
und vor allem:
was passiert wenn die schnittmenge leer ist? dann existiert nämlich kein i entgegengesetzt zur behauptung?!
|
|
|
| |
|
> das ist klar, also im allgemeinen. bei mir haperts nur an
> diesem aktuellen beispiel.
>
> wenn:
>
> [mm]\exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I: [mm]x\in[/mm] B \ [mm]A_{i}[/mm]
>
> wieso daraus zwangsläufig der letzte schritt, also die
> teilmenge folgt. bei der a) ist es klar weil da ein für
> alle steht, das finde ich "logischer"^^ aber die b) kann
> ich mir nicht gut veranschaulichen hier oder verstehen in
> diesem schritt
Hallo,
man könnte Dir bessser und vor allem schneller folgen, hättest Du einfach mal etwas ausführlicher hingeschrieben, worum es geht.
Meine Nachforschungen haben ergeben, daß Du
> 2) B \ [mm] \bigcap_{i\in I} A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i\in I} [/mm] (B \ [mm] A_i) [/mm]
zeigen möchtest.
Es handelt sich um eine Gleichheit von Mengen, dh. zu zeigen ist
i) B \ [mm] \bigcap_{i\in I} A_i \subseteq \bigcup_{i\in I} [/mm] (B \ [mm] A_i)
[/mm]
und
ii) [mm] \bigcup_{i\in I} [/mm] (B \ [mm] A_i) \subseteq [/mm] B [mm] \bigcap_{i\in I} A_i
[/mm]
Du scheinst nun bei der i) zu hängen:
Sei [mm] x\in [/mm] B \ [mm] \bigcap_{i\in I} A_i
[/mm]
==>
[mm] x\in [/mm] B und [mm] x\not\in \bigcap_{i\in I} A_i [/mm]
==>
[mm] x\in [/mm] B und es gibt ein [mm] i\in [/mm] I mit x [mm] \not\in A_i [/mm] (wenn nicht im Schnitt ist, kann's in einer der mengen [mm] A_i [/mm] nicht drin sein)
==> es gibt ein [mm] i\in [/mm] I mit [mm] x\in [/mm] B und x [mm] \not\in A_i
[/mm]
==> es gibt ein [mm] i\in [/mm] I mit [mm] x\in [/mm] B \ [mm] A_i
[/mm]
(Stell Dir jetzt mal vor, x wäre in B \ [mm] A_5. [/mm] Dann ist x natürlich auch in (B \ [mm] A_5) \cup [/mm] (B \ [mm] A_9). [/mm] Also:)
==> es ist [mm] x\in \bigcup_{i\in I}(B [/mm] \ [mm] A_i),
[/mm]
und damit ist i) gezeigt.
>
> und vor allem:
>
> was passiert wenn die schnittmenge leer ist? dann existiert
> nämlich kein i entgegengesetzt zur behauptung?!
Doch, wenn die Schnittmenge leer ist, dann kann x nicht in allen der [mm] A_i [/mm] liegen. Sonst wäre ja x in der Schnittmenge.
Also gibt es ein i, so daß [mm] x\not\in A_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mo 20.10.2008 | | Autor: | martin2 |
danke für die super ausführliche erläuterung. aber bis jetzt krieg ichs einfach nicht ganz auf die reihe vom verständnis her. ich werde es später nochmal versuchen und hoffen dass ichs dann 100pro verstehe :)
korrektur: habs verstanden, bin immer falsch herum drangegangen, das war mir eigentlich schon vorher klar nur jetzt hab ich gefunden wie's richtig rum läuft :D
|
|
|
|
