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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 07.12.2013 | | Autor: | BTGrave |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Untergruppe von [mm] O_3(\IR) [/mm] die nicht in [mm] SO_3(\IR) [/mm] enthalten ist, und sei H = G [mm] \cap SO_3(\IR).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass (G : H)=2
b) Es gelte: [mm] -E_3 \not\in [/mm] G. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung
[mm] \phi [/mm] : G [mm] \to SO_3(\IR), [/mm] g [mm] \mapsto [/mm] det(g)*g
Ein injektiver Gruppenhomomorphismus is.
c) Es gelte nun [mm] -E_3 \in [/mm] G. Zeigen Sie, dass es einen Isomorphismus
G [mm] \to [/mm] H [mm] \times\IZ /2\IZ [/mm] gibt. (Hinweis: Benutzen die die Konstruktion aus der vorherigen Teilaufgabe.)
d) Betrachten sie nun die vollen Symmetriegruppen von Tetraeder, Würfel und Ikosaeder. Welche von Diesen enthalten [mm] -E_3? [/mm] Bestimmen sie für die Gruppen, die [mm] -E_3 [/mm] nicht enthalten, das Bild unter der Abbildung [mm] \phi [/mm] |
Guten Tag allerseits,
Im Grunde kann ich garnicht viel dazu sagen :'(
Ich steh vor einer absoluten Wand und hab keine Ahnung wie ich da rangehen soll :(
In der letzten Vorlesung haben wir uns mit der klassifizierung von endlichen Drehgruppen befasst aber ich sehen nicht wie ich das hier anwenden könnte :(
Ich hoffe mir kann hier JEmand auf die Sprünge helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 07.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Sei G eine endliche Untergruppe von [mm]O_3(\IR)[/mm] die nicht in
> [mm]SO_3(\IR)[/mm] enthalten ist, und sei H = G [mm]\cap SO_3(\IR).[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass (G : H)=2
> b) Es gelte: [mm]-E_3 \not\in[/mm] G. Zeigen Sie, dass dann die
> Abbildung
> [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to SO_3(\IR),[/mm] g [mm]\mapsto[/mm] det(g)*g
> Ein injektiver Gruppenhomomorphismus is.
> c) Es gelte nun [mm]-E_3 \in[/mm] G. Zeigen Sie, dass es einen
> Isomorphismus
> G [mm]\to[/mm] H [mm]\times\IZ /2\IZ[/mm] gibt. (Hinweis: Benutzen die die
> Konstruktion aus der vorherigen Teilaufgabe.)
> d) Betrachten sie nun die vollen Symmetriegruppen von
> Tetraeder, Würfel und Ikosaeder. Welche von Diesen
> enthalten [mm]-E_3?[/mm] Bestimmen sie für die Gruppen, die [mm]-E_3[/mm]
> nicht enthalten, das Bild unter der Abbildung [mm]\phi[/mm]
> Guten Tag allerseits,
>
> Im Grunde kann ich garnicht viel dazu sagen :'(
> Ich steh vor einer absoluten Wand und hab keine Ahnung wie
> ich da rangehen soll :(
>
> In der letzten Vorlesung haben wir uns mit der
> klassifizierung von endlichen Drehgruppen befasst aber ich
> sehen nicht wie ich das hier anwenden könnte :(
Was habt ihr denn dazu gelernt? Was weisst Du ueber die Determinanten der orthogonalen Abbildungen, was ueber die endlichen Untergruppen von [mm] $O(\IR)$?
[/mm]
Weisst Du, dass [mm] $SO(\IR)$ [/mm] ein Normalteiler von [mm] $O(\IR)$ [/mm] ist? Welchen Index hat er?
>
> Ich hoffe mir kann hier JEmand auf die Sprünge helfen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Sa 07.12.2013 | | Autor: | BTGrave |
Also ich weiß:
Sei G [mm] \subseteq O_2(\IR) [/mm] eine endliche Untergruppe, dann ist G entweder zyklisch oder konjugiert zur Diedergruppe [mm] D_n \subseteq O_2(\IR)
[/mm]
Die Determinante orthogonaler Matrizen ist immer entweder -1 oder +1 und im Zusammenhang eben entweder +1 bei der Drehgruppe und -1 bei der Spiegeldrehgruppe
Über die Untergruppen des [mm] O_n(\IR) [/mm] weiß ich ehrlich gesagt gerade garnix :(
Dass [mm] SO(\IR) [/mm] ein Normalteiler von [mm] O(\IR) [/mm] ist haben wir vor ein paar Wochen mal gezeigt, aber was das mit dem Index dann auf sich hat will mir gerade nichtmehr einfallen
Ich weiß dass ich heir gerade mit sehr wenig hintergrundwissen ankomme. Mir ist auch bewusst dass die Lösung für die Teilaufgaben eigentlich sehr schnell erreichbar sein müsste aber mir fällt nicht ein wie. Ich starr hier gerade einfach nur auf die Aufgabe und durchblätter meine mitschriften, aber finde nichts dass mir irgendwie weiterhelfen könnte :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 So 08.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Also ich weiß:
> Sei G [mm]\subseteq O_2(\IR)[/mm] eine endliche Untergruppe, dann
> ist G entweder zyklisch oder konjugiert zur Diedergruppe
> [mm]D_n \subseteq O_2(\IR)[/mm]
>
> Die Determinante orthogonaler Matrizen ist immer entweder
> -1 oder +1 und im Zusammenhang eben entweder +1 bei der
> Drehgruppe und -1 bei der Spiegeldrehgruppe
Damit laesst sich Teil a) bereits loesen: Da [mm] $G\not\leq SO(\IR)$ [/mm] vorausgesetzt ist, ist $H< G$. Zu zeigen ist, dass $H$ in $G$ den Index $2$ hat, also $H$ genau $2$ Nebenklassen in $G$ hat. Alle Elemente in $H$ haben die Determinante $...$, waehrend alle Elemente aus [mm] $G\backslash [/mm] H$ die Determinante $...$ haben.
Sei nun [mm] $g\in G\backslash [/mm] H$. Wenn $H$ in $G$ $2$ Nebenklassen haben soll, dann reicht es zu zeigen, dass $G= [mm] H\cup [/mm] gH$ gilt. Folglich sind $2$ Inklusionen zu zeigen, wobei die eine trivial ist. Deshalb beschraenke ich mich auf [mm] $G\subseteq H\cup [/mm] gH$. Dazu sei [mm] $x\in [/mm] G$. Im Fall [mm] $\det [/mm] x= 1$ ist [mm] $x\in [/mm] ...$. Sei also [mm] $\det [/mm] x= -1$. Nun moechte man gerne wissen, dass [mm] $x\in [/mm] gH$ gilt. Es ist aber [mm] $\det(g^{-1}x)=...$, [/mm] weshalb [mm] $g^{-1}x\in [/mm] H$ ist, und somit [mm] $x\in [/mm] ...$. Versuche die Luecken zu ergaenzen!
>
> Über die Untergruppen des [mm]O_n(\IR)[/mm] weiß ich ehrlich
> gesagt gerade garnix :(
>
> Dass [mm]SO(\IR)[/mm] ein Normalteiler von [mm]O(\IR)[/mm] ist haben wir vor
> ein paar Wochen mal gezeigt, aber was das mit dem Index
> dann auf sich hat will mir gerade nichtmehr einfallen
Tja, schade, damit liesse sich eine Menge anfangen. Und unter anderem die obige Ueberlegung gewaltig verkuerzen.
>
> Ich weiß dass ich heir gerade mit sehr wenig
> hintergrundwissen ankomme. Mir ist auch bewusst dass die
> Lösung für die Teilaufgaben eigentlich sehr schnell
> erreichbar sein müsste aber mir fällt nicht ein wie. Ich
> starr hier gerade einfach nur auf die Aufgabe und
> durchblätter meine mitschriften, aber finde nichts dass
> mir irgendwie weiterhelfen könnte :(
Naja, ich werde Deine Mitschrift nicht in Ordnung bringen.
Bei Teilaufgabe b) versuche zuerst zu zeigen, dass die Abbildung ueberhaupt ein Homomorphismus ist. Danach koennen wir sehen, wie sich die restlichen Behauptungen ergeben.
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