Morrey Ungleichung, eindeutig < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $A [mm] \subset \IR^n$ [/mm] offen und beschränkt mit [mm] $C^1$-Rand, [/mm] $0 < [mm] c_{f} [/mm] < [mm] \alpha$ [/mm] mit
[mm] $\integral_{A}{| \nabla u|^2} \ge \alpha \parallel [/mm] u [mm] \parallel_{H_0^1} \forall [/mm] u [mm] \in H_0^1(A)$. [/mm]
Definiere für $R>0$
[mm] $M_R [/mm] := [mm] \{ v \in H_0^1(A) : \parallel v \parallel_{H^1} \le R \}$.
[/mm]
Sei $f: [mm] H_0^1(A) \to H^{-1}(A)$, [/mm] so dass
(1) [mm] $\parallel f(u_1) [/mm] - [mm] f(u_2) \parallel_{H^{-1}} \le c_f \parallel u_1 [/mm] - [mm] u_2 \parallel_{H^1} \forall u_1$, $u_2 \in M_R$,
[/mm]
(2) [mm] $\parallel [/mm] f(u) [mm] \parallel_{H^{-1}} \le \alpha [/mm] R [mm] \forall [/mm] u [mm] \in M_R$.
[/mm]
Zeige, dass das Problem
[mm] $\integral_{A}{\nabla u \nabla v dx} [/mm] = < f(u), v > [mm] \forall [/mm] v [mm] \in H_0^1(A) [/mm] $
genau eine Lösung $u [mm] \in M_R$ [/mm] hat.
Hinweis:
Seien [mm] $\{u_n\}_{n \in \IN} \subset H_0^1(A)$ [/mm] Lösungen der (eindeutig lösbaren?) Probleme
[mm] $\integral_{A}{\nabla u_n \nabla v dx} [/mm] = < [mm] f(u_{n-1}), [/mm] v > [mm] \forall [/mm] v [mm] \in H_0^1(A) [/mm] $
mit einem entsprechnenden Startwert [mm] $u_0 \in M_R$.
[/mm]
In welchem Raum und wogegen konvergiert diese Folge? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo. Ich sitze schon länger an der Aufgabe dran, aber ich finde keinen Ansatz.
Ich wollte zuerst den Hinweis beweisen.
Da hat mich aber als erstes verwundert, warum links [mm] $\nabla u_n$ [/mm] steht, und dann rechts [mm] $f(u_{n-1})$. [/mm] Wieso haben die beiden nicht das gleiche $n$?
Und, ich weiß, der Startwert [mm] $u_0$ [/mm] liegt in [mm] $M_R$. [/mm] Das heißt ja schonmal, dass die Folge in [mm] $M_R$ [/mm] liegen muss. Ich habe die Vermutung, die Folge bleibt auch im [mm] $M_R$, [/mm] nur weiß ich nicht warum. Und konvergieren müsste sie ja bestimmt gegen $u$. Aber warum? Ich kann das doch gar net sagen.
Bitte gebt mir viele viele Denkansätze =).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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