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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 So 06.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
| Aufgabe | | Beim wiederholten Münzwurf mit Wahrscheinlichkeit $p$ für Kopf bezeichne [mm] $A_k$ [/mm] das Ereignis, dass zwischen dem [mm] $2^k$-ten [/mm] und dem [mm] $2^{k+1}-1$-ten [/mm] Wurf mindestens $k$-mal hintereinander Kopf geworfen wird... |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ähm, was ist [mm] $\IP(A_k)$? [/mm] Es wird ja keine Bedingung an die ersten [mm] $2^k$ [/mm] Würfe gestellt, d.h. ich muss doch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in
[mm] $2^{k+1}-1-2^k=2^k*(2-1)-1=2^k-1$ [/mm]
Würfen (evtl. noch $-2$, je nachdem wie man "zwischen" interpretiert) mindestens $k$-mal hintereinander Kopf geworfen wird, oder? Wie mache ich das am geschicktesten? Muss ich hier das Komplement "höchstens $k-1$ mal hintereinander..." betrachten?
Gruß kevin
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Huhu, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 07.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
| Aufgabe | Beim wiederholten Münzwurf mit Wahrscheinlichkeit $p$ fur Kopf bezeichne [mm] $A_k$
[/mm]
das Ereignis, dass zwischen dem [mm] $2^k$-ten [/mm] und dem [mm] $2^{k+1}-1$-ten [/mm] Wurf mindestens $k$-mal hintereinander Kopf geworfen wird. Zeigen Sie, dass $P(limsup [mm] A_k) [/mm] = 0$ wenn $p [mm] \leq [/mm] 1/2$ und 1 sonst. |
Hey,
Volltreffer, fast genau die Aufgabe 3 wollte ich damit bearbeiten. Nur klappt die erste Abschätzung leider nicht mehr, weil meine Aufgabe "mindestens" k-mal hintereinander statt genau k-mal fordert.
Damit kann ich die Ereignisse nicht so konstruieren.
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Hi
Man hat doch [mm] 2^k-(k-1) [/mm] möglichkeiten, zwischen [mm] 2^k [/mm] und 2^(k+1)-1 mind. k mal hintereinander kopf zu werfen.
jede diese möglichkeit hat eine w´keit von [mm] p^k [/mm] da die würfe unabhängig angenommen sind . also ist [mm] P(A_k)= (2^k-(k-1))*p^k. [/mm] dann schätzt man die reihe darüber ab und sieht sehrschnell die fallunterscheidung
Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:08 Di 08.06.2010 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo,
> Hi
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> Man hat doch [mm]2^k-(k-1)[/mm] möglichkeiten, zwischen [mm]2^k[/mm] und
> 2^(k+1)-1 mind. k mal hintereinander kopf zu werfen.
Bist du dir da sicher? Ich stimme dir zu, dass es [mm] 2^k-(k-1) [/mm] Möglichkeiten gibt, zwischen [mm] 2^k [/mm] und [mm] 2^{k+1}-1 [/mm] genau k-mal hintereinander Kopf zu werfen.
Wenn (k+1)-mal hintereinander Kopf kommen soll, gibt es nur noch [mm] 2^k-(m-1) [/mm] Möglichkeiten, zwischen [mm] 2^k [/mm] und [mm] 2^{k+1}-1 [/mm] genau m-mal hintereinander Kopf zu werfen, usw.
?
Grüße,
Stefan
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Hm, Kombinatorik bringt mich noch ins Grab!
verstehe Dein Argument, würde folgendes sagen:
Es gibt [mm] $2^k-k-1$ [/mm] Punkte an denen eine Sequenz von mindestens $k-$mal Kopf auftreten kann. Das heißt aber nicht, dass es genau [mm] $2^k-k-1$ [/mm] Möglichkeiten gibt eine Folge von mindestens $k$ mal Kopf zu werfen.
Das macht das Problem nicht wirklich einfacher...
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Hallo,
mir ist Folgendes aufgefallen: Es reicht doch, nur [mm] P(A_{k}) [/mm] = [mm] p^{k}*(2^{k}-k+1) [/mm] zu betrachten. Warum: Wir fordern ja nur k Köpfe, und über die anderen Würfe fordern wird nichts (siehe obige Formel). Das heißt insbesondere, dass wir auch die Ereignisse zulassen, bei welchen nach der Folge der k Köpfe nochmal Kopf kommt, etc.
Das bedeutet, dass die obige Wahrscheinlichkeit bereits alle Ereignisse in Betracht zieht, bei denen mindestens k-mal Kopf geworfen wird.
Grüße,
Stefan
PS.: Die Formel für genau k Köpfe und nirgendwo anders Kopf wäre so in etwa:
$P = [mm] p^{k}*(1-p)^{2^{k}-k}*(2^{k}-k+1)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mi 09.06.2010 | | Autor: | pokermoe |
Hi
Genau es reicht deis zu betrachten .
Dann schreibe man die Summe der W´keiten der [mm] A_k [/mm] aus und schätze
geschickt einmal nach oben und einmal nach unten ab, sodass man das Lemma von Borel Cantelli anwenden kann.
Gruß mOe
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Hey,
wenn das wirklich die Wahrscheinlichkeit ist, brauche ich doch keine Abschätzung mehr, dann habe ich zweimal die geometrische Reihe, einmal konvergent, einmal divergent - oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 11.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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