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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Di 09.06.2015
Autor: Emma23

Aufgabe
a) Wie viele Multiindizes [mm] \alpha\in\IN_{0}^{n} [/mm] mit [mm] |\alpha|=k [/mm] gibt es? Begründen Sie ihre Antwort.
b) Zeigen Sie, dass für [mm] P(x)=x^{\alpha} [/mm] und ein [mm] \beta_{i}>\alpha_{i} [/mm] für [mm] i\in \{1,...,n\} [/mm] gilt: [mm] D^{\beta}P(x)=0. [/mm]
c) Zeigen,Sie, dass für [mm] P(x)=\summe_{|\alpha|=k}^{}c_{\alpha}x^{\alpha} [/mm] und für [mm] \beta [/mm] mit [mm] |\beta|=k [/mm] gilt:
[mm] D^{\beta}P(x)=\beta !c_{\beta}. [/mm]

Guten Abend! Ich bräuchte mal Hilfe bzw. einen Anstoß bei dieser Aufgabe. Generell kann ich mit dem Thema "Multiindizes" noch nicht wirklich viel anfangen und da ich aus gesundheitlichen Gründen nicht zu den letzten beiden Vorlesungen konnte, verstehe ich auch die Aufgabenstellung gar nicht so richtig. Was ich weiß ist, dass wir es hier mit Tupeln natürlicher Zahlen zu tun haben. Ich bin also über jeden Tipp dankbar!

Grüße
Emma

        
Bezug
Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Di 09.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie ist denn ein []Multiindex definiert? Insbesondere solltest du auch nachschlagen, wie [mm] x^\alpha [/mm] oder [mm] |\alpha| [/mm] definiert ist, falls [mm] \alpha [/mm] ein Multiindex ist.

Gruß,
Gono

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Bezug
Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Di 09.06.2015
Autor: Emma23

Also ein Multiindex ist [mm] \alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{n})\in \IN_{0}^{n}. [/mm]
[mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm] und [mm] \alpha!=\produkt_{i=1}^{n}\alpha_{i}!. [/mm]
Für [mm] x\in \IR^{n} [/mm] und Multiindex [mm] \alpha [/mm] ist [mm] x^{\alpha} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}. [/mm]
Für eine k-mal stetig diffbare Funktion f und [mm] \alpha [/mm] mit [mm] |\alpha|\le [/mm] k schreibt man [mm] D^{\alpha}f= D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}***D_{n}^{\alpha_{n}}f, [/mm] wobei [mm] D_{i}^{\alpha_{i}}=\underbrace{D_{i}***D_{i}}_{a_{i}-mal}. [/mm]

Das ist so das, was ich mir als Definition rausgeschrieben habe.

Grüße

Bezug
                        
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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Mi 10.06.2015
Autor: fred97


> Also ein Multiindex ist
> [mm]\alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{n})\in \IN_{0}^{n}.[/mm]
>  
> [mm]|\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}[/mm] und
> [mm]\alpha!=\produkt_{i=1}^{n}\alpha_{i}!.[/mm]
>  Für [mm]x\in \IR^{n}[/mm] und Multiindex [mm]\alpha[/mm] ist [mm]x^{\alpha}[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}.[/mm]
>  Für eine k-mal stetig diffbare Funktion f und [mm]\alpha[/mm] mit
> [mm]|\alpha|\le[/mm] k schreibt man [mm]D^{\alpha}f= D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}***D_{n}^{\alpha_{n}}f,[/mm]
> wobei
> [mm]D_{i}^{\alpha_{i}}=\underbrace{D_{i}***D_{i}}_{a_{i}-mal}.[/mm]
>  
> Das ist so das, was ich mir als Definition rausgeschrieben
> habe.


Na also. ist dann $ [mm] \beta_{i}>\alpha_{i} [/mm] $ für $ [mm] i\in \{1,...,n\} [/mm] $ so differenziere

    $ [mm] x^{\alpha} [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}} [/mm] $

[mm] \beta_i [/mm] - mal nach [mm] x_i. [/mm] Was passiert ?

FRED

>  
> Grüße


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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Mo 15.06.2015
Autor: Emma23

Also von der Logik her verstehe ich das ja. Wenn [mm] \beta_{i} [/mm] > [mm] \alpha_{i} [/mm] ist, dann ist es ja klar, dass die Ableitung 0 sein muss. Ich weiß nur nicht, wie ich das formulieren kann...

Grüße

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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Mo 15.06.2015
Autor: fred97

Seien n, m [mm] \in \IN, f(x)=x^n [/mm] und m>n.

Wie argumentierst Du, dass [mm] f^{(m)}(x)=0 [/mm] ist für alle x ?

FRED

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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Mo 15.06.2015
Autor: Emma23

Keine Ahnung... Für mich ist das einfach logisch, deswegen wüsste ich gerade nicht, wie ich das zeigen kann... :(

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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Mo 15.06.2015
Autor: chrisno

Es gibt Ableitungsregeln. Da musst Du nur die passenden raussuchen.

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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 15.06.2015
Autor: Emma23

Also ich weiß natürlich, dass von [mm] x^{n} [/mm] die Ableitung [mm] n*x^{n-1} [/mm] ist, aber wie bringt mich das weiter?

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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Mo 15.06.2015
Autor: chrisno

Für welche n gilt das? Mit nur dieser Regel kommst Du nicht aus.

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Multiindex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mo 15.06.2015
Autor: Emma23

Das gilt für jedes [mm] n\in\IZ\backslash\{0\} [/mm]

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Multiindex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:58 Mo 15.06.2015
Autor: Emma23

Alles gut! Ich hab es hinbekommen. Vielen Dank :)

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Multiindex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Mi 10.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

und zur a):
Mmach dir mal klar, dass du dir das auch wie folgt anschauen kannst:

Du hast k Punkte [mm] \cdots\cdots\cdots [/mm] und versuchst zwischen diese nun n Striche zu schieben.
Dann kann man die Anzahl an Punkten zwischen dem i-ten und (i+1)-ten Strich immer mit den Werten der [mm] $a_i$ [/mm] identifizieren.

Die Frage nach "Wie viele [mm] \alpha [/mm] mit [mm] |\alpha|=k [/mm] gibt es?" kann man also umformulieren zu "Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Striche zwischen (oder neben) k Punkte zu machen."

Und dazu kannst du gerne mal []hier unter d) schauen.

Gruß,
Gono

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Multiindex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Mo 15.06.2015
Autor: Emma23

Dankeschön! :)

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