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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 24.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
ich versuche gerade herauszufinden, wie man z.B. den Koeffizienten von $x^2y^3z$ im Polynom [mm] $(2x-y^2+3z)^6$ [/mm] bestimmt. In der Vorlesung hatten wir nur ein Beispiel, in dem das Polynom kein [mm] y^2 [/mm] enthielt, also nur ein y.
Kann man die Koeffizienten mit [mm] $(x_1+...+x_r)^n=\sum\limits_{k_1,...,k_r=0}^n\vektor{n \\ k_1,...,k_r}x_1^{k_1}*...*x_r^{k_r}$ [/mm] bestimmen. Wenn ja, wie? Was ich an dieser Formel nicht ganz verstehe ist, was die untere Grenze [mm] $k_1,...,k_r=0$ [/mm] der Summe bedeuted.
Was wäre, wenn man die Koeffizienten von $x^2y^2z$ im obigen Polynom bestimmen müsste!?
Danke!
Gruß
dk-netz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Sa 24.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> ich versuche gerade herauszufinden, wie man z.B. den
> Koeffizienten von [mm]x^2y^3z[/mm] im Polynom [mm](2x-y^2+3z)^6[/mm]
> bestimmt. In der Vorlesung hatten wir nur ein Beispiel, in
> dem das Polynom kein [mm]y^2[/mm] enthielt, also nur ein y.
> Kann man die Koeffizienten mit
> [mm](x_1+...+x_r)^n=\sum\limits_{k_1,...,k_r=0}^n\vektor{n \\ k_1,...,k_r}x_1^{k_1}*...*x_r^{k_r}[/mm]
> bestimmen. Wenn ja, wie? Was ich an dieser Formel nicht
> ganz verstehe ist, was die untere Grenze [mm]k_1,...,k_r=0[/mm] der
> Summe bedeuted.
Die Formel stimmt nicht ganz, denn da steht
[mm](x_1+...+x_r)^n=\sum\limits_{k_1+...+k_r=n}^n\vektor{n \\ k_1,...,k_r}x_1^{k_1}*...*x_r^{k_r}[/mm] ,
Gemeint ist eine Summation über alle r Indizes, wobei die Summe immer n ergeben muss. Das sind eigentlich nur n-1 Summationen, es ist aber mühsam sie einzeln hinzuschreiben.
Der Polynomialkoeffizient ist
[mm] \vektor{n \\ k_1,...,k_r} = \bruch{n!}{k_1!\dots k_r!}[/mm].
> Was wäre, wenn man die Koeffizienten von [mm]x^2y^2z[/mm] im obigen
> Polynom bestimmen müsste!?
Dann wäre r=3, n=6, [mm] $x_1=2x$, $x_2=-y^2$, $x_3=3z$, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=1$ [/mm] . Also ist [mm] $k_1+k_2+k_3\not [/mm] = n$ und der Koeffizient ist daher 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 24.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort!
Ok, bei $ x^2y^2z $ hab ich sowas vermutet.
Bei $ x^2y^3z $ habe ich jetzt folgendes gemacht:
[mm] $\vektor{6 \\ 2,3,1}(2x)^2*(-y^2)^3*3z$ [/mm] was dann zu [mm] $\bruch{6!}{2!3!1!}12*x^2*(-y^2)^3*z$ [/mm] wird.
Stimmt das soweit?
Wenn ja, was mache ich mit dem [mm] $(-y^2)^3$? [/mm] da müsste doch eigentlich ein [mm] $-y^2$ [/mm] stehen?
Gruß
dk-netz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 24.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> danke für die schnelle Antwort!
> Ok, bei [mm]x^2y^2z[/mm] hab ich sowas vermutet.
> Bei [mm]x^2y^3z[/mm] habe ich jetzt folgendes gemacht:
> [mm]\vektor{6 \\ 2,3,1}(2x)^2*(-y^2)^3*3z[/mm] was dann zu
> [mm]\bruch{6!}{2!3!1!}12*x^2*(-y^2)^3*z[/mm] wird.
> Stimmt das soweit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ja, was mache ich mit dem [mm](-y^2)^3[/mm]? da müsste doch
> eigentlich ein [mm]-y^2[/mm] stehen?
Das verstehe ich jetzt nicht. Wenn du [mm]-y^2[/mm] anschauen willst, muss [mm] $k_2=1$ [/mm] sein, und das gibt nur dann einen von 0 verschiedenen Term, wenn [mm] $k_1+k_3=5$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Sa 24.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
Danke,
achso dann stört es gar nicht, dass da das ³ noch steht? der Koeffizient wäre also das [mm] $\bruch{6!}{2!3!1!}12$? [/mm] Sehe ich das richtig?
Gruß
dk-netz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 25.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> achso dann stört es gar nicht, dass da das ³ noch steht?
Was meinst du damit? Ich verstehe die Frage nicht.
> der Koeffizient wäre also das [mm]\bruch{6!}{2!3!1!}12[/mm]? Sehe
> ich das richtig?
Der gesamte Term wäre
[mm] \bruch{6!}{2!3!1!}12 x^2 (-y^2)^3 z = -120 x^2y^6z[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 25.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
was mir vllt. nicht ganz klar ist: Hat dieser Term nun einen von 0 abweichenden Koeffizienten oder nicht? Der Koeffizient kann ja eigentlich nur 0 sein, da die $ x^2y^6z $ in $ [mm] \bruch{6!}{2!3!1!}12 x^2 (-y^2)^3 [/mm] z = -120 x^2y^6z [mm] \not= [/mm] x^2y^3z $ oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 25.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> was mir vllt. nicht ganz klar ist: Hat dieser Term nun
> einen von 0 abweichenden Koeffizienten oder nicht? Der
> Koeffizient kann ja eigentlich nur 0 sein, da die [mm]x^2y^6z[/mm]
> in [mm]\bruch{6!}{2!3!1!}12 x^2 (-y^2)^3 z = -120 x^2y^6z \not= x^2y^3z[/mm]
> oder?
Ich glaube, wir schreiben völlig aneinander vorbei. Es gibt in der Summe keinen Term der Form $x^2y^3z$, denn, wie Al-Chwarizmi schon bemerkte, können nur gerade Potenzen von y auftreten.
Überhaupt kann es nur Terme der Form [mm] $x_1^{k_1}x_2^{k_2}x_3^{k_3} [/mm] = [mm] (2x)^{k_1}(-y^2)^{k_2}z^{k_3}$ [/mm] geben, für die [mm] $k_1+k_2+k_3=6$ [/mm] ist, und auch damit gibt es keinen Term der Form $x^2y^3z$.
Der [mm] $(2x)^2(-y^2)^3z^1$ [/mm] ist ein ganz Anderer.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo,
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> ich versuche gerade herauszufinden, wie man z.B. den
> Koeffizienten von [mm]x^2y^3z[/mm] im Polynom [mm](2x-y^2+3z)^6[/mm]
> bestimmt.
Man kann quasi "vom Schiff aus" sehen, dass dieser Koeffizient null sein muss,
denn in dem ausmultiplizierten Term [mm](2x-y^2+3z)^6[/mm] kann y bestimmt
nur mit geraden Exponenten auftreten !
LG
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