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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Di 08.01.2008 | | Autor: | mushkato |
| Aufgabe | | f(x)=ln(x+1) für x > -1 |
Dann gilt:
a) f ist eine konkave, streng monoton steigende Fnk, die durch den Ursprung geht.
b) [mm] g(x)=e^{x+1} [/mm] ist die Umkehrfunktion von f(x).
c) [mm] e^{f(x)}-1=x
[/mm]
d) f(x) hat für x eine Nullstelle.
Ich glaube, dass a) und d) sind korrekt
Ist meine Lösung wirklich korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Di 08.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn du uns die Überlegungen mitgepostet hättest, wirds einfacher.
> f(x)=ln(x+1) für x > -1
> Dann gilt:
>
> a) f ist eine konkave, streng monoton steigende Fnk, die
> durch den Ursprung geht.
Zu zeigen: f'(x)>0 [mm] \forall x\in\ID=]-1;\infty[ [/mm] (Streng monoton)
und f(0)=0 (durch O(0/0))
Und für Konkavität, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
>
> b) [mm]g(x)=e^{x+1}[/mm] ist die Umkehrfunktion von f(x).
Hier bilde mal [mm] f^{-1} [/mm] und vergleiche.
y=ln(x+1)
Variablen vertauschen
x=ln(y+1)
nach y auflösen.
x=ln(y+1)
[mm] \gdw e^{x}=y+1
[/mm]
[mm] \gdw e^{x}-1=y
[/mm]
>
> c) [mm]e^{f(x)}-1=x[/mm]
>
Setze doch mal ein:
[mm] e^{f(x)}-1=e^{ln(x+1)}-1=...
[/mm]
> d) f(x) hat für x eine Nullstelle.
>
Für welches x?
Es soll gelten:
f(x)=0
Marius
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