Multiplikation von Dichtefkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage:
Wenn ich an einem Punkt die jeweilige Dichtefunktion von der Geschwindigkeit und Höhe habe:
Ist es möglich die Dichtefunktionen so zu multiplizieren, dass ich die Totalenergie bekomme.
Oder anders: Kann man Dichtefunktionen einfach nicht linear verknüpfen
[mm] (1/2mv^2 [/mm] +mgh)
Ich möchte nicht erst aus Geschwindigkeit und Höhe die Totalenergie bestimmen und dann daraus die Dichtefunktion.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Verstehe ich Dich richtig:
Gegeben sind für zwei Zufallsvariablen [mm] X_i [/mm] (i=1,2) deren Dichten [mm] f_{X_i}(s) [/mm] sowie eine Linearkombination [mm] Z=aX_1+bX_2 [/mm] und Dich interessiert die Dichte von Z?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 19.04.2010 | | Autor: | minus2000 |
Hi,
ja, aber dabei soll es sich nicht nur um eine einfache Linearkombination handeln, sondern auch um nicht lineare Verknüpfungen.
[mm] Z=aX^2 [/mm] + bY
Und dann hätte ich gerne die Dichtefunktion von Z. Ist es sozusagen möglich dies über die Dichgefunktionen von X und Y zu erhalten...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:54 Di 20.04.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] aX^2+bY=aU+bY [/mm] mit [mm] U=X^2. [/mm] Also im Prinzip eine Linearkombination, da die Dichte von U aus der von X ohne weiteres bestimmt werden kann.
Frage: Welche gemeinsame Verteilung haben Deine Zufallsvariablen? Denn
mit Z:=aX+bY ist
[mm] F_Z(t)=\integral_{\Omega} 1_{(-\infty,t]}(Z)dP=\integral_{Z(\Omega)} 1_{(-\infty,t]}(au+bv))dF_{(X,Y)}(u,v)
[/mm]
und hier kommt man ohne die Struktur von [mm] F_{X,Y}(u,v) [/mm] nicht weiter.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 20.04.2010 | | Autor: | minus2000 |
Und wäre es möglich auch eine nichtlineare Transformation durchzuführen.
Das heißt ich hätte eine Dichtefunktion der Masse und eben der Geschwindigkeit und möchte eine Dichtefunktion der kinetischen Energie bestimmen?
Sprich: Dichte Ekin = 1/2* f(m) * [mm] f(v)^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Di 20.04.2010 | | Autor: | gfm |
> Und wäre es möglich auch eine nichtlineare Transformation
> durchzuführen.
> Das heißt ich hätte eine Dichtefunktion der Masse und
> eben der Geschwindigkeit und möchte eine Dichtefunktion
> der kinetischen Energie bestimmen?
>
> Sprich: Dichte Ekin = 1/2* f(m) * [mm]f(v)^2[/mm]
Du meinst sicher:
[mm] E=\frac{1}{2}MV^2
[/mm]
mit zwei Zufallsvariablen M und V und deren gemeinsame Dichte
[mm] f_{(M,V)}(m,v)=f_{M,V}(m|v)f_V(v) [/mm]
ist.
[mm] f_{M,V}(m|v) [/mm] ist die Dichte von M an der Stelle m unter der Voraussetzung, dass V den Wert v hat.
Gemeinsame Dichte deswegen, weil z.B. in diesem Kontext die Massenverteilung durchaus einen Einfluß auf die Geschwindigkeitsverteilung haben könnte.
Erst wenn der Wert von V keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von M, darf man annehmen, dass
[mm] f_{(M,V)}(m,v)=f_{M}(m)f_{V}(v)
[/mm]
Wenn die gemeinsame Verteilung zweier reellwertiger Zufallsvariablen X,Y
[mm] F_{(X,Y)}(u,v):=P(\{X\le u\}\cap\{Y\le v\}) [/mm] ist und Z aus X,Y durch eine geeignete reellwertige Funktion g
Z:=g(X,Y)
aus beiden hervorgeht, ist die Verteilung von Z gegeben durch
[mm] F_Z(w):=P(\{Z\le w\})=\integral_{\IR^2} 1_{(-\infty,w]}(g(u,v))dF_{(X,Y)}(u,v)
[/mm]
[mm] =\integral_{\IR^2} 1_{(-\infty,w]}(g(u,v))dF_{(X,Y)}(u,v)=\integral_{\{(x,y):g(x,y)\le w\}}dF_{(X,Y)}(u,v)
[/mm]
und wenn die Verteilung [mm] F_{(X,Y)} [/mm] eine Dichte hat:
[mm] =\integral_{\{(x,y):g(x,y)\le w\}}f_{(X,Y)}(u,v)dudv
[/mm]
Nun hängt es von g und [mm] f_{(X,Y)} [/mm] ab wie man weiter machen kann.
Wenn man schließlich [mm] F_Z(w) [/mm] bestimmt hat, ist [mm] F_Z' [/mm] die Dichte.
Wenn dieser Weg zu schwierig ist, kann man auch versuchen, den Weg über die charakteristische Funktion [mm] E(e^{itZ}) [/mm] zu gehen, insbesondere, wenn man nur an Momenten interessiert ist.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 22.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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