Multiplikation von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 06.11.2011 | | Autor: | Xaxa90 |
| Aufgabe 1 | | Es soll gezeigt und verallgemeinert werden, dass lim n->oo [mm] (a_n*b_n*c_n) [/mm] = (lim n->oo [mm] (a_n)) [/mm] * (lim n->oo [mm] (b_n)) [/mm] * (lim n->oo [mm] (c_n)) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Wieso ist lim n->oo [mm] (a_n)^m [/mm] = (lim n->oo [mm] (a_n))^m [/mm] ein Spezialfall? |
Hallo,
ich habe Probleme bei der Lösung der Aufgaben. Ich habe mich versucht, durch die Problemstellung durchzugooglen, mit mäßigem Erfolg.
Ich dachte zu 1:
Für n->oo sind ja die Grenzwerte zu [mm] a_n [/mm] = a, [mm] b_n [/mm] = b und [mm] c_n [/mm] = c.
Das Produkt dieser konvergiert, also könnte man das mithilfe der Regeln für Nullfolgen beweisen, wenn die Differenz der Produkte Null ergibt.
Also der Ausdruck:
[mm] a_n*b_n*c_n [/mm] - abc = ...
Und hier ist mein Problem, ich weiss nicht, was ich auf die rechte Seite schreiben muss. Es muss ja genauso Null ergeben. Aber da bin ich aufgeschmissen :/. Dann würd ich schauen wegen kürzen/was sinn macht und müsste ja rauskommen, dass [mm] a_n*b_n*c_n [/mm] = abc ist.
Zu 2: Ich denke die Lösung ist, dass das n Spezialfall ist, weil das der Allgemeinen Form (von Aufg. 1) entspricht, jedoch [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] und vllt. noch weitere hier durch [mm] a_n [/mm] ersetzt werden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich gehe davon aus, dass Ihr in der Vorlesung folgenden Satz hattet:
Sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergente Folgen mit den Grenzwerten a bzw. b, so ist [mm] (a_n*b_n) [/mm] konvergent und hat den Grenzwert ab.
Zu Aufgabe 1: aus obigem Satz folgt: [mm] a_nb_n \to [/mm] ab. Setze [mm] \alpha_n:=a_nb_n [/mm] und [mm] \beta_n:=c_n. [/mm]
Wende den Satz auf [mm] (\alpha_n* \beta_n) [/mm] an.
Zu Aufgabe 2: mit obigem Satz und Induktion nach m
FRED
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