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Forum "Zahlentheorie" - Multiplikative Inverse
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Multiplikative Inverse: Wann existiert diese?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Fr 01.03.2013
Autor: Jack159

Hallo,

Wir haben in der Vorlesung festgehalten, dass es nicht zu jeder modularen Arithmetik eine multiplikative Inverse x^-1 zu x gibt.


Der Satz von Lemma von Bézout besagt nun:

[mm] \operatorname{ggT}(a,b) [/mm] = s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b mit [mm] s,t\in\mathbb{Z}. [/mm]

Sind a und b teilerfremd, dann existieren [mm] s,t\in\mathbb{Z}, [/mm] sodass

1 = s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b



Der zweite Teil dieses Satzes ist klar. Damit könnte man nun mithilfe des erw. eukl. Alg. z.B. die multiplikative Inverse b^-1 von b mod a berechnen, sodass b*b^-1 [mm] \equiv [/mm] 1 mod a gilt oder umgekehrt könnte man auch die multiplikative Inverse a^-1 von a mod b berechnen, sodass a*a^-1 [mm] \equiv [/mm] 1 mod b gilt.

Meine Frage zielt eher auf den Fall ab, falls a und b nicht teilerfremd sind.

Beispiel:

ggT(125, 110)=5

Der Erw. Eukl. Alg. liefert:

8*110-7*125=5

Ich kann doch dann folgendes schreiben:

8*110 [mm] \equiv [/mm] mod 5

Dann wäre doch 8 die multiplikative Inverse von 110 in [mm] \IZ_{5}, [/mm]  oder nicht?


Oder existiert die multiplikative Inverse grundsätzlich nur, falls ggT(a.b)=1 ist?

        
Bezug
Multiplikative Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Fr 01.03.2013
Autor: reverend

Hallo Jack,

da ist irgendetwas kraus, sei es Deine Formulierung oder die Überlegung dahinter.

> Wir haben in der Vorlesung festgehalten, dass es nicht zu
> jeder modularen Arithmetik eine multiplikative Inverse x^-1
> zu x gibt.
>  
>
> Der Satz von Lemma von Bézout besagt nun:

Was denn jetzt, Satz oder Lemma? ;-)

> [mm]\operatorname{ggT}(a,b)[/mm] = s [mm]\cdot[/mm] a + t [mm]\cdot[/mm] b mit
> [mm]s,t\in\mathbb{Z}.[/mm]
>  
> Sind a und b teilerfremd, dann existieren [mm]s,t\in\mathbb{Z},[/mm]
> sodass
>  
> 1 = s [mm]\cdot[/mm] a + t [mm]\cdot[/mm] b
>
>
>
> Der zweite Teil dieses Satzes ist klar. Damit könnte man
> nun mithilfe des erw. eukl. Alg. z.B. die multiplikative
> Inverse b^-1 von b mod a berechnen, sodass b*b^-1 [mm]\equiv[/mm] 1
> mod a gilt oder umgekehrt könnte man auch die
> multiplikative Inverse a^-1 von a mod b berechnen, sodass
> a*a^-1 [mm]\equiv[/mm] 1 mod b gilt.
>  
> Meine Frage zielt eher auf den Fall ab, falls a und b nicht
> teilerfremd sind.
>  
> Beispiel:
>  
> ggT(125, 110)=5
>  
> Der Erw. Eukl. Alg. liefert:
>
> 8*110-7*125=5
>  
> Ich kann doch dann folgendes schreiben:
>  
> 8*110 [mm]\equiv[/mm] mod 5

Da fehlt doch was. Rechts des Äquivalenzzeichens nämlich. Da müsste eine Null stehen.

> Dann wäre doch 8 die multiplikative Inverse von 110 in
> [mm]\IZ_{5},[/mm]  oder nicht?

Nein, dazu müsste ja gelten [mm] 8*110\equiv 1\mod{5}. [/mm]
Das ist aber falsch.

> Oder existiert die multiplikative Inverse grundsätzlich
> nur, falls ggT(a.b)=1 ist?

Hier ist die krause Frage. Sie ist zu ungenau.
In der Tat existiert ein multiplikatives Inverses zu [mm] a\mod{b} [/mm] nur dann, wenn [mm] \ggT{(a,b)}=1 [/mm] ist; entsprechend für [mm] b\mod{a}. [/mm]

Das Lemma von Bézout besagt das Folgende zwar nicht, aber das solltest Du leicht herleiten können:

Ist [mm] \ggt{(a,b)}\not=1, [/mm] so hat $1=s*a+t*b$ mit [mm] s,t\in\IZ [/mm] keine Lösung.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Multiplikative Inverse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Fr 01.03.2013
Autor: Jack159


> > Ich kann doch dann folgendes schreiben:
>  >  
> > 8*110 [mm]\equiv[/mm] mod 5
>  
> Da fehlt doch was. Rechts des Äquivalenzzeichens nämlich.
> Da müsste eine Null stehen.
>  

Du hast recht, habe ich übersehen.


> > Dann wäre doch 8 die multiplikative Inverse von 110 in
> > [mm]\IZ_{5},[/mm]  oder nicht?
>  
> Nein, dazu müsste ja gelten [mm]8*110\equiv 1\mod{5}.[/mm]
>  Das ist
> aber falsch.
>  
> > Oder existiert die multiplikative Inverse grundsätzlich
> > nur, falls ggT(a.b)=1 ist?
>
> Hier ist die krause Frage. Sie ist zu ungenau.
> In der Tat existiert ein multiplikatives Inverses zu
> [mm]a\mod{b}[/mm] nur dann, wenn [mm]\ggT{(a,b)}=1[/mm] ist; entsprechend
> für [mm]b\mod{a}.[/mm]

Gut, so meinte ich das auch, habe mich nur zu grob ausgedrückt ;)

Dann ist alles klar, danke dir!



Bezug
                
Bezug
Multiplikative Inverse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Sa 02.03.2013
Autor: fred97


> Hallo Jack,
>  
> da ist irgendetwas kraus, sei es Deine Formulierung oder
> die Überlegung dahinter.
>  
> > Wir haben in der Vorlesung festgehalten, dass es nicht zu
> > jeder modularen Arithmetik eine multiplikative Inverse x^-1
> > zu x gibt.
>  >  
> >
> > Der Satz von Lemma von Bézout besagt nun:
>  
> Was denn jetzt, Satz oder Lemma? ;-)



Moin reverend,

Du kennst die Dame  Emma von Bézout nicht ?

Im zarten Alter von 27 Jahren nannte sie sich

               La Emma von Bézout.

Daraus wurde dann

              L' Emma von Bézout.

Weil es heutzutage drunter und drüber geht mit der Apostrophiererei (Deppenapostroph usw ....) kann man diesen Namen auch so schreiben:

             LEmma von Bézout oder so: Lemma von Bézout.


In der Mathematik wimmelt es geradezu von blaublütigen Emmas (oder Emma's ??? ):

[]Emma von Schwarz-Pick

[]Emma von Riesz

[]Emma von Fatout

[]Emma von Zorn


Es geht noch weiter:



Emma von Gauss

Emma von Borel -Cantelli

Emma von Schur

Emma von Gronwall

Emma von Euklid

etc ....

Das reicht ersma !

Ist das nicht der Waaaahnsinn ?

Eine die mit Mathematik nichts zu tun hat (hoffentlich !):

Emma von A'Schwarzer

Bemühe mal Google

Grüße Le Fred

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