Multiplikativität d. Phi-Funk. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Di 04.11.2008 | | Autor: | fido |
Warum ist die eulersche Phi-Funktion multiplikativ? Also warum gilt phi(n*m) = phi(n) * phi(m) für teilerfremde n und m?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
fido
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Di 04.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also wenn du´s über Gruppentheorie machen willst,
dann sollte man beweisen, dass
[mm] (\IZ/n\IZ)^*\times(\IZ/n\IZ)^*\cong (\IZ/nm\IZ)^* [/mm] für ggT(n,m)=1 (Der kleine Punkt soll nen Stern sein). Dies kannst du aus der allgemeinen Form des Chinesischen Restsatz ableiten (Ring= [mm] \IZ [/mm] und (n) und (m) sind koprime Ideale, da [mm] n\IZ+m\IZ=(n)+(m)=(ggT(n,m))=(1)=\IZ, [/mm] dann ist [mm] (\IZ/n\IZ)\times(\IZ/m\IZ)\cong (\IZ/nm\IZ) [/mm] und entsprechend sind die zugehörigen multiplikativen Gruppen isomorph)
Da die beiden Gruppen isomorph sind, ist deren Mächtigkeit identisch
und die ist von ersterer Gruppe [mm] \phi(n)*\phi(m) [/mm] und die zweite Gruppe hat [mm] \phi(nm) [/mm] Elemente.
Viele Grüße
Christian
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