NST < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe die Funktion gegeben
[mm] f(x,y)=x^2-xy [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] 2x^2-2xy+y^2 \le [/mm] 1
Ich habe bereits die stationären Punkt im Inneren bestimmt (dabei achte ich ja zunächst nicht auf die Nebenbedingung; schreibe ich dann trotzdem die Nebenbedingung irgendwie dazu?),
will aber jetzt auf dem Rand schauen, also mit Lagrange.
Dazu habe ich ja die Nebenbedingung umgeformt zu:
[mm] 2x^2-2xy+y^2-1=0 [/mm] und setze das nun "in" f ein, also:
[mm] x^2-xy+\lambda (2x^2-2xy+y^2-1) [/mm] richtig?
Nun die partiellen Ableitungen:
nach x: 2x-y+ [mm] \lambda4x -2\lambda [/mm] y=0
das kann ich umformen zu [mm] (1+2\lambda)(2x-y)=0
[/mm]
nach y: -x-2 [mm] \lambda [/mm] x+2 [mm] \lambda [/mm] y
nach [mm] \lambda [/mm] bleibt ja nur die Nebenbedingung stehen
Sind soweit denn die Ableitungen richtig?
Denn nun weiß ich nicht genau, wie ich an alle Nullstellen komme.
Ich habe aus:
[mm] (1+2\lambda)(2x-y)=0: \lambda=-1/2 [/mm] oder y=2x
Nun habe ich das [mm] \lambda [/mm] in die Ableitung nach y eingesetzt und bekomme: y=0
Nun habe ich noch y=2x in die Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] eingesetzt und bekomme: +/- [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Aber wie komme ich nun noch an weitere NST. Irgendwie habe ich den Überblick verloren.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 05.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe die Funktion gegeben
>
> [mm]f(x,y)=x^2-xy[/mm] unter der Nebenbedingung [mm]2x^2-2xy+y^2 \le[/mm] 1
>
Hallo,
ich habe von diesem Lagrange-Kram keine Ahnung. Allerdings weiß ich , dass ein Produkt Null ist, wenn...
Und [mm] x^2-xy [/mm] lässt sich als Produkt schreiben, nämlich als x(x-y).
Das ist Null
- für x= 0 und y beliebig im erlaubten Gebiet
- für x=y, wenn beide im erlaubten Gebiet sind.
Gruß Abakus
> Ich habe bereits die stationären Punkt im Inneren bestimmt
> (dabei achte ich ja zunächst nicht auf die Nebenbedingung;
> schreibe ich dann trotzdem die Nebenbedingung irgendwie
> dazu?),
> will aber jetzt auf dem Rand schauen, also mit Lagrange.
>
> Dazu habe ich ja die Nebenbedingung umgeformt zu:
>
> [mm]2x^2-2xy+y^2-1=0[/mm] und setze das nun "in" f ein, also:
>
> [mm]x^2-xy+\lambda (2x^2-2xy+y^2-1)[/mm] richtig?
>
> Nun die partiellen Ableitungen:
> nach x: 2x-y+ [mm]\lambda4x -2\lambda[/mm] y=0
> das kann ich umformen zu [mm](1+2\lambda)(2x-y)=0[/mm]
>
> nach y: -x-2 [mm]\lambda[/mm] x+2 [mm]\lambda[/mm] y
>
> nach [mm]\lambda[/mm] bleibt ja nur die Nebenbedingung stehen
>
> Sind soweit denn die Ableitungen richtig?
>
> Denn nun weiß ich nicht genau, wie ich an alle Nullstellen
> komme.
>
> Ich habe aus:
> [mm](1+2\lambda)(2x-y)=0: \lambda=-1/2[/mm] oder y=2x
>
> Nun habe ich das [mm]\lambda[/mm] in die Ableitung nach y eingesetzt
> und bekomme: y=0
>
> Nun habe ich noch y=2x in die Ableitung nach [mm]\lambda[/mm]
> eingesetzt und bekomme: +/- [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> Aber wie komme ich nun noch an weitere NST. Irgendwie habe
> ich den Überblick verloren.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> ich habe von diesem Lagrange-Kram keine Ahnung. Allerdings
> weiß ich , dass ein Produkt Null ist, wenn...
> Und [mm]x^2-xy[/mm] lässt sich als Produkt schreiben, nämlich als
> x(x-y).
> Das ist Null
> - für x= 0 und y beliebig im erlaubten Gebiet
> - für x=y, wenn beide im erlaubten Gebiet sind.
>
Aber das habe ich doch bereits gemacht. Ich weiß nur nicht, wo ich nun was einsetzen muss um weitere NST zu finden.
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
>
> > Hallo,
> > ich habe von diesem Lagrange-Kram keine Ahnung.
> Allerdings
> > weiß ich , dass ein Produkt Null ist, wenn...
> > Und [mm]x^2-xy[/mm] lässt sich als Produkt schreiben, nämlich
> als
> > x(x-y).
> > Das ist Null
> > - für x= 0 und y beliebig im erlaubten Gebiet
> > - für x=y, wenn beide im erlaubten Gebiet sind.
> >
> Aber das habe ich doch bereits gemacht. Ich weiß nur nicht,
> wo ich nun was einsetzen muss um weitere NST zu finden.
Den Fall [mm]1+2\lambda=0[/mm] hast Du ja schon behandelt.
Jetzt muß noch der Fall [mm]y=2x[/mm] untersucht werden.
Setze [mm]y=2x[/mm] in die Nebenbedingung ein,
und Du erhältst dann die möglichen x-Werte.
Dies setzt Du nun in die verbleibende Gleichung ein
und erhältst dann die Werte für [mm]\lambda[/mm].
Du kannst Dir hier das Leben etwas leichter machen,
in dem Du auch hier [mm]y=2x[/mm] setzt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
> Den Fall [mm]1+2\lambda=0[/mm] hast Du ja schon behandelt.
Ja, hier habe ich [mm] \lambda=-0,5
[/mm]
>
> Jetzt muß noch der Fall [mm]y=2x[/mm] untersucht werden.
>
> Setze [mm]y=2x[/mm] in die Nebenbedingung ein,
> und Du erhältst dann die möglichen x-Werte.
Habe ich auch bereits: [mm] x=+/-\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
>
> Dies setzt Du nun in die verbleibende Gleichung ein
> und erhältst dann die Werte für [mm]\lambda[/mm].
[mm] \lambda [/mm] habe ich doch oben bereits? Welche verbleibende Gleichung meinst du?
>
> Du kannst Dir hier das Leben etwas leichter machen,
> in dem Du auch hier [mm]y=2x[/mm] setzt.
>
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
>
> > Den Fall [mm]1+2\lambda=0[/mm] hast Du ja schon behandelt.
> Ja, hier habe ich [mm]\lambda=-0,5[/mm]
> >
> > Jetzt muß noch der Fall [mm]y=2x[/mm] untersucht werden.
> >
> > Setze [mm]y=2x[/mm] in die Nebenbedingung ein,
> > und Du erhältst dann die möglichen x-Werte.
>
> Habe ich auch bereits: [mm]x=+/-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> >
> > Dies setzt Du nun in die verbleibende Gleichung ein
> > und erhältst dann die Werte für [mm]\lambda[/mm].
>
> [mm]\lambda[/mm] habe ich doch oben bereits? Welche verbleibende
> Gleichung meinst du?
Die verbleibende Gleichung ist die partielle Ableitung nach y.
Und daraus bekommst Du ein anderes [mm]\lambda[/mm], als Du bereits schon hast.
> >
> > Du kannst Dir hier das Leben etwas leichter machen,
> > in dem Du auch hier [mm]y=2x[/mm] setzt.
> >
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Do 05.02.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich habe das Ergebnis gerade selber gefunden. Danke sehr!
|
|
|
|
