Nabla Operator, Vektorfelder < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 22.10.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Zeigen Sie (A,B Vektorfelden):
a)div(rotA)=0
b)div(A[tex]\times[/tex]B) = B(rotA) - A(rotB) |
Wir haben das in der Uebung gemacht, Argumentation ist fuer mich bischen unverstaendlich. In a) war nur gesagt, das wir das einfach zyklisch vertauschen koennen, und erhalten wir Nabla kreuz Nabla gleich Null. Ok.
Aber das widerspricht fuer mich dem Beispiel b), weil wir nicht nur erster Term haben (was zyklische Vertauschung ist), aber auch zweiter. Was verstehe ich nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 22.10.2009 | | Autor: | smarty |
Hi,
zu a)
die Divergenz eines Vektorfeldes ist das Skalare Feld
$div\ [mm] \vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \nabla*\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\delta\ v_1}{\delta_x}+\bruch{\delta\ v_2}{\delta_y}+\bruch{\delta\ v_3}{\delta_z}$
[/mm]
und die Rotation von [mm] \vec{v} [/mm] ist das Vektorfeld
$rot\ [mm] \vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{\bruch{\delta\ v_3}{\delta_y}-\bruch{\delta\ v_2}{\delta_z}\\\bruch{\delta\ v_1}{\delta_3}-\bruch{\delta\ v_3}{\delta_1}\\\bruch{\delta\ v_2}{\delta_1}-\bruch{\delta\ v_1}{\delta_2}}$
[/mm]
Nun wird es dir wohl nicht mehr schwer fallen über das Skalarprodukt $div(rot\ [mm] \vec{v})=0$ [/mm] zu zeigen, oder?
Viele Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Do 22.10.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo,
stimmt die Aufgabe b) so? Bei mir kommt auf der rechten Seite immer 2* die linke Seite raus oder vertue ich mich da?
Viele Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 22.10.2009 | | Autor: | waruna |
Die Aufgabe ist sicherlich richtig gegeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Do 22.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie (A,B Vektorfelden):
> a)div(rotA)=0
> b)div(A[tex]\times[/tex]B) = B(rotA) - A(rotB)
> Wir haben das in der Uebung gemacht, Argumentation ist
> fuer mich bischen unverstaendlich. In a) war nur gesagt,
> das wir das einfach zyklisch vertauschen koennen, und
> erhalten wir Nabla kreuz Nabla gleich Null. Ok.
> Aber das widerspricht fuer mich dem Beispiel b), weil wir
> nicht nur erster Term haben (was zyklische Vertauschung
> ist), aber auch zweiter. Was verstehe ich nicht?
Die Argumentation ist zwar richtig, aber ein bischen oberflächlich. Es geht in beiden Fällen darum, das Spatprodukt
[mm] \vec{a}*(\vec{b}\times \vec{c}) = \left|\begin{matrix} a_x & b_x &c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z&c_z \end{matrix}\right| = a_x(b_yc_z-b_zc_y)+a_y(b_zc_x-b_xc_z)+a_z(b_xc_y-b_yc_x) [/mm]
zu benutzen.
Würde es sich um einfache Vektoren handeln, wäre die Antwort klar: wenn zwei der drei Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ [/mm] gleich sind, ist diese Determinante und damit das Spatprodukt 0.
[mm] $\nabla$ [/mm] ist zwar ein Vektor, aber gleichzeitig ein Operator, das heisst, die Komponenten werden nicht einfach nur multipliziert, sondern auch noch (als Ableitung) auf die folgenden Vektorkomponenten angewandt; daher muss man etwas genauer hinschauen.
Wenn ich die Komponenten von [mm] $\nabla$ [/mm] als [mm] $\partial_x$, $\partial_y$, $\partial_z$ [/mm] schreibe, dann wird aus der Aufgabe a:
[mm] \mathop{\mathrm{div}}(\mathop{\mathrm{rot}}A) = \nabla*(\nabla\times A) = \left|\begin{matrix} \partial_x & \partial_x &A_x \\ \partial_y & \partial_y & A_y \\ \partial_z & \partial_z&A_z \end{matrix}\right| [/mm]
[mm] = \partial_x(\partial_yA_z-\partial_zA_y)+\partial_y(\partial_zA_x-\partial_xA_z)+\partial_z(\partial_xA_y-
\partial_yA_x) [/mm]
[mm] = (\partial_x\partial_y A_z - \partial_y\partial_xA_z) + (\partial_y\partial_zA_x-\partial_z\partial_x)A_y + (\partial_z\partial_xA_y-\partial_x\partial_zA_y)[/mm]
[mm] = 0[/mm],
weil die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt, z.B. [mm] $\partial_x\partial_y A_z= \partial_y\partial_xA_z$.
[/mm]
Bei der Aufgabe b hast du drei verschiedene Vektoren:
[mm] \mathop{\mathrm{div}}(A\times B) = \nabla*(A\times B)[/mm].
Da hier das Produkt [mm] $(A\times [/mm] B)$ abgeleitet wird, gibt es laut Produktregel zwei Terme. Beim Vorbeiziehen der Ableitung am ersten Term musst du beachten, dass die zyklische Vertauschung im Spatprodukt das Ergebnis nicht ändert, die Vertauschung zweier Vektoren aber ein zusätzliches Minuszeichen ergibt, daher
[mm] \nabla*(A\times B) = (\nabla\times A)*B + (-1)* A*(\nabla\times B) [/mm].
Wenn du das nicht auf Anhieb verstehst, macht es nichts; es geht auch in kleinen Schritten. Schreibe wieder
[mm] \nabla*(A\times B) = \left|\begin{matrix} \partial_x & A_x &B_x \\ \partial_y & A_y & B_y \\ \partial_z & A_z&B_z \end{matrix}\right| [/mm],
und auf der rechten Seite
[mm] B*(\mathop{\mathrm{rot}}A) - A*(\mathop{\mathrm{rot}}B) = B*(\nabla\times A)-A(\nabla\times B) = \left|\begin{matrix} B_x & \partial_x &A_x \\ B_y & \partial_y & A_y \\ B_z & \partial_z&A_z \end{matrix}\right| - \left|\begin{matrix} B_x & \partial_x &A_x \\ B_y & \partial_y & A_y \\ B_z & \partial_z&A_z \end{matrix}\right| [/mm]
Rechne die Determinanten aus und überprüfe, ob auf beiden Seiten das Gleiche steht!
Viele Grüße
Rainer
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