Nabla (vektor*matrix*vektor) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Do 25.06.2015 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Berechne
[mm] \nabla_{\eta} (\vec{\eta}^T [/mm] V [mm] \vec{\eta}),
[/mm]
V-matrix |
Nabla wirkt auf beide Vektoren [mm] \eta [/mm] (mit Punkt bezeichne ich wo Nabla wirkt):
[mm] \nabla_{\eta} (\vec{\eta}^T [/mm] V [mm] \vec{\eta})=\nabla_{\eta} (\dot{\vec{\eta}}^T [/mm] V [mm] \vec{\eta})+\nabla_{\eta} (\vec{\eta}^T [/mm] V [mm] \dot{\vec{\eta}})=
[/mm]
1 V [mm] \vec{\eta} [/mm] + ?
Bei erstem Term bekomme ich von [mm] \nabla_{\eta} \vec{\eta}^T [/mm] Einheitsmatrix, aber bei 2. Term weiß ich nicht wie ich das berechnen soll. Antwort ist
2V [mm] \vec{\eta}, [/mm] ich vermute man hat benutzt, dass V symmetrische matrix ist. Gilt die Antwort aber im Allgemeinen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Do 25.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] V=(v_{ik}) [/mm] eine reelle nxn- Matrix und
[mm] f(x):=x^TVx=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik}x_ix_k
[/mm]
[mm] (x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n). [/mm] Ist nun m [mm] \in \{1,...,n\}, [/mm] so gilt:
[mm] f_{x_m}(x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik} \bruch{\partial}{\partial x_m}(x_ix_k)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik}[(\bruch{\partial}{\partial x_m} x_i)x_k+x_i( \bruch{\partial}{\partial x_m} x_k)]=\summe_{k=1}^{n}v_{mk}x_k+\summe_{i=1}^{n}v_{im}x_i.
[/mm]
Das liefert dann:
[mm] \nabla f(x)=(V+V^T)x
[/mm]
Ist V symmetrisch, so ist [mm] $\nabla [/mm] f(x)=2Vx$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 25.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Sei [mm]V=(v_{ik})[/mm] eine reelle nxn- Matrix und
>
> [mm]f(x):=x^TVx=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik}x_ix_k[/mm]
>
> [mm](x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n).[/mm] Ist nun m [mm]\in \{1,...,n\},[/mm] so
> gilt:
>
> [mm]f_{x_m}(x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik} \bruch{\partial}{\partial x_m}(x_ix_k)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik}[(\bruch{\partial}{\partial x_m} x_i)x_k+x_i( \bruch{\partial}{\partial x_m} x_k)]=\summe_{k=1}^{n}v_{mk}x_k+\summe_{i=1}^{n}v_{im}x_i.[/mm]
>
> Das liefert dann:
>
> [mm]\Nabla f(x)=(V+V^T)x[/mm]
Da ist ein Nabla vor dem $f$ verloren gegangen [mm] :$\nabla [/mm] f = ... $
>
> Ist V symmetrisch, so ist [mm]\Nabla f(x)=2Vx[/mm]
Das gleiche hier: [mm] $\nabla [/mm] f = ...$
>
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Do 25.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]V=(v_{ik})[/mm] eine reelle nxn- Matrix und
> >
> > [mm]f(x):=x^TVx=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik}x_ix_k[/mm]
> >
> > [mm](x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n).[/mm] Ist nun m [mm]\in \{1,...,n\},[/mm] so
> > gilt:
> >
> > [mm]f_{x_m}(x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik} \bruch{\partial}{\partial x_m}(x_ix_k)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}v_{ik}[(\bruch{\partial}{\partial x_m} x_i)x_k+x_i( \bruch{\partial}{\partial x_m} x_k)]=\summe_{k=1}^{n}v_{mk}x_k+\summe_{i=1}^{n}v_{im}x_i.[/mm]
>
> >
> > Das liefert dann:
> >
> > [mm]\Nabla f(x)=(V+V^T)x[/mm]
>
> Da ist ein Nabla vor dem [mm]f[/mm] verloren gegangen :[mm]\nabla f = ...[/mm]
>
> >
> > Ist V symmetrisch, so ist [mm]\Nabla f(x)=2Vx[/mm]
>
> Das gleiche hier: [mm]\nabla f = ...[/mm]
> >
> > FRED
>
Danke, werde es sofort korrigieren.
FRED
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