Nach X auflösen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie X aus der folgenden Matrixgleichung, indem sie zunächst- falls möglich- nach X auflösen!
2X (E-A) = [mm] (CX^T)^T [/mm] + X -B
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
[mm] C=\pmat{ 3 & 0 \\ 3 & 0 } [/mm] |
2X (E-A) = [mm] (CX^T)^T [/mm] + X -B |Klammer auflösen
2XE - 2XA = [mm] (C^T)*X [/mm] + X -B [mm] |-C^T [/mm] X |- X
2X - 2XA [mm] -C^T [/mm] X - X = -B
X - 2XA - [mm] (C^T) [/mm] X = -B |*X -1
[mm] -2A-(C^T) [/mm] = -B *X -1
-B -1 [mm] *(-2A-C^T) [/mm] = X -1
[mm] -B*(-2A-C^T)[/mm] -1 = X
Verletzte ich irgendeine Regel?
Oder darf ich die Matrixgleichung so lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie X aus der folgenden Matrixgleichung, indem
> sie zunächst- falls möglich- nach X auflösen!
>
> 2X (E-A) = [mm](CX^T)^T[/mm] + X -B
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> [mm]B=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]C=\pmat{ 3 & 0 \\ 3 & 0 }[/mm]
> 2X (E-A) = [mm](CX^T)^T[/mm] + X -B
> |Klammer auflösen
>
> 2XE - 2XA = [mm](C^T)*X[/mm] + X -B [mm]|-C^T[/mm] X |- X
Hier ist schon ein Fehler: es ist [mm] (CX^T)^T= (X^T)^TC^T= XC^T, [/mm] denn allgemein gilt:
[mm] (AB)^T=B^TA^T
[/mm]
>
> 2X - 2XA [mm]-C^T[/mm] X - X = -B
>
> X - 2XA - [mm](C^T)[/mm] X = -B |*X -1
>
> [mm]-2A-(C^T)[/mm] = -B *X -1
Hier sind 2 Fehler:
1. Es fehlt [mm] XX^{-1}= [/mm] E
2. Es ist i.a. [mm] XAX^{-1} \ne [/mm] A, denn die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
>
> -B -1 [mm] *(-2A-C^T)[/mm] = X -1
>
> [mm]-B*(-2A-C^T)[/mm] -1 = X
Noch ein Fehler: für die Inversenbildung gilt allgemein: [mm] (AB)^{-1}= B^{-1}A^{-1}
[/mm]
FRED
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> Verletzte ich irgendeine Regel?
> Oder darf ich die Matrixgleichung so lösen?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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OK, ja danke erstmal.
ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet.
2X (E-A) = [mm] (CX^T)^T [/mm] + X - B
2X - 2XA = [mm] XC^T [/mm] + X - B
2X -X -2XA [mm] -XC^T [/mm] = -B
X -2XA - [mm] XC^T [/mm] = -B
so bis dahin komme ich und hoffe, dass es so richtig ist.
Aber nun darf ich ja nicht das X ausklammern, da 2XA [mm] \not= [/mm] X2A oder X -1 rechnen da $ [mm] XAX^{-1} \ne [/mm] $ A, um nach X auflösen zu können.
Ist diese Gleichung dan einfach nicht nach X auflösbar und ich muss so weiter rechnen?
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> OK, ja danke erstmal.
>
> ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet.
>
> 2X (E-A) = [mm](CX^T)^T[/mm] + X - B
>
> 2X - 2XA = [mm]XC^T[/mm] + X - B
>
> 2X -X -2XA [mm]-XC^T[/mm] = -B
>
> X -2XA - [mm]XC^T[/mm] = -B
>
> so bis dahin komme ich und hoffe, dass es so richtig ist.
> Aber nun darf ich ja nicht das X ausklammern, da 2XA [mm]\not=[/mm]
> X2A oder X -1 rechnen da [mm]XAX^{-1} \ne[/mm] A, um nach
> X auflösen zu können.
Doch, da X jeweils von links "dranmultipliziert" wird, kannst du das nochmal ausklammern. Ein Zahlenfaktor wie die 2 darf mit den Matrizen vertauscht werden, nur die Matrizen eben nicht.
Dann bekommst du ja auch das, was in der parallelen Antwort steht:
$X*(E - 2A - [mm] C^{T}) [/mm] = -B$
> Ist diese Gleichung dan einfach nicht nach X auflösbar und
> ich muss so weiter rechnen?
Die Gleichung ist dann nach X auflösbar, wenn du von rechts das Inverse der Klammer dranmultiplizieren kannst, d.h. wenn es eine Matrix Y gibt mit $(E - 2A - [mm] C^{T})*Y [/mm] = E$.
Das ist jetzt aber nicht allgemein für alle A und C nachweisbar, d.h. du kannst ohne weiteres nicht mehr weiterrechnen.
Wenn du jetzt deine gegebenen A und C benutzt, dann gibt es die Inverse, die du dann ausrechnen kannst/musst. Damit findest du dann auch die Lösung für X.
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | Sara_0301 |
Super dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Freds genannten Fehlern:
> Ermitteln Sie X aus der folgenden Matrixgleichung, indem
> sie zunächst- falls möglich- nach X auflösen!
>
> 2X (E-A) = [mm](CX^T)^T[/mm] + X -B
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> [mm]B=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]C=\pmat{ 3 & 0 \\ 3 & 0 }[/mm]
> 2X (E-A) = [mm](CX^T)^T[/mm] + X -B
> |Klammer auflösen
>
> 2XE - 2XA = [mm](C^T)*X[/mm] + X -B [mm]|-C^T[/mm] X |- X
>
> 2X - 2XA [mm]-C^T[/mm] X - X = -B
>
> X - 2XA - [mm](C^T)[/mm] X = -B |*X -1
hier musst Du die Existenz von [mm] $X^{-1}$ [/mm] annehmen, oder begründen. Bei der Matrixmultiplikation muss i.a. keine Inverse existieren (auch nicht bei quadratischen Matrizen). Deshalb gibt's da ja eben Begriffe wie regulär, invertierbar...
Aber wofür machst Du das dort überhaupt? Sinn macht das rechnerisch doch nur, wenn Du richtig rechnest:
[mm] $$X*irgendwas=irgendwasanderes\,$$
[/mm]
und Du dann überprüfst, ob [mm] $irgendwas\,$ [/mm] ein (rechts-)inverses hat. Mit diesem (Rechts-)Inversen kann man dann (rechts) dranmultiplizieren.
Gruß,
Marcel
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