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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 25.06.2014 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | | Beweisen Sie [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] N(n)\not=n [/mm] mit vollständiger Induktion |
Hallo zusammen,
ich habe das schon mal mit den Peano Axiomen folgendermaßen bewiesen:
Es sei [mm] M:=\{n\in\IN | N(n)\not=n\}
[/mm]
Damit [mm] M=\IN [/mm] muss gelten (1) 0 [mm] \in [/mm] M und (2) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in M:N(n)\in [/mm] M
(1) N(0) [mm] \not=0 [/mm] wegen Peano Axiom 3
(2) n [mm] \in [/mm] M => N(n) [mm] \not=0 [/mm] => N(N(n) [mm] \not= [/mm] N(n) nach Peano Axiom 4 => N(n) [mm] \element [/mm] M
Wegen (1) und (2) Kamm man nach Peano Axiom 5 folgern M = [mm] \IN
[/mm]
Mit vollständiger Induktion tue ich mich hier etwas schwer bzw. weiß nicht ob das was ich mache stimmt :)
A(n): N(n) [mm] \not= [/mm] n N(n) := n+1
Ind. Anf.: Für n=0 N(0) = 0+1 [mm] \not= [/mm] 0
Ind. Schritt: A((N(n)): N(N(n)) [mm] \not= [/mm] N(n)
(n+1) +1 [mm] \not= [/mm] n+1
Ich bin mir echt unsicher. Vor allem weiß ich nicht wie ich beim Indunktionsschritt das nächste Element angeben muss ob mit n+1 oder N(N(n)).
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 25.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Beweisen Sie [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]N(n)\not=n[/mm] mit
> vollständiger Induktion
> Hallo zusammen,
>
> ich habe das schon mal mit den Peano Axiomen
> folgendermaßen bewiesen:
>
> Es sei [mm]M:=\{n\in\IN | N(n)\not=n\}[/mm]
>
> Damit [mm]M=\IN[/mm] muss gelten (1) 0 [mm]\in[/mm] M und (2) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in M:N(n)\in[/mm]
> M
>
> (1) N(0) [mm]\not=0[/mm] wegen Peano Axiom 3
> (2) n [mm]\in[/mm] M => N(n) [mm]\not=0[/mm] => N(N(n) [mm]\not=[/mm] N(n) nach Peano
> Axiom 4 => N(n) [mm]\element[/mm] M
>
> Wegen (1) und (2) Kamm man nach Peano Axiom 5 folgern M =
> [mm]\IN[/mm]
Das ist auf jeden Fall richtig.
>
> Mit vollständiger Induktion tue ich mich hier etwas schwer
> bzw. weiß nicht ob das was ich mache stimmt :)
>
> A(n): N(n) [mm]\not=[/mm] n N(n) := n+1
>
> Ind. Anf.: Für n=0 N(0) = 0+1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> Ind. Schritt: A((N(n)): N(N(n)) [mm]\not=[/mm] N(n)
>
> (n+1) +1 [mm]\not=[/mm] n+1
>
> Ich bin mir echt unsicher. Vor allem weiß ich nicht wie
> ich beim Indunktionsschritt das nächste Element angeben
> muss ob mit n+1 oder N(N(n)).
> Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Ich wuerde sagen dieser zweite Beweis ist identisch zum ersten, denn es wurde nur $n+1$ statt $N(n)$ geschrieben; dies ist auch sehr ueblich. Das Peano Axiom: Wenn [mm] $M\subseteq \IN$ [/mm] mit [mm] $0\in [/mm] M$ und fuer alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt: wenn [mm] $n\in [/mm] M$, so auch [mm] $N(n)\in [/mm] M$, so ist $M= [mm] \IN$ [/mm] wird auch Induktionsaxiom genannt und liefert die Rechtfertigung fuer die Beweistechnik Induktion. Der Grund, weshalb [mm] $(n+1)+1\neq [/mm] n+1$ ist, ist der selbe, wie in der ersten Variante bei [mm] $N(N(n))\neq [/mm] N(n)$. Allenfalls koenntest Du zur deutlicheren Begruendung der einzelnen Schluesse direkt auf die Axiom verweisen, genauso wie beim ersten Beweis.
Bist Du Dir sicher, dass die erste Beweisvariante nicht erwuenscht ist?
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