Nachweis Formel wurzel(2) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weisen sie folgende Formel nach Euler nach:
[mm] $\wurzel(2)=\bruch{7}{5}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{100} [/mm] + [mm] \bruch{1*3}{100*200} [/mm] + [mm] \bruch{1*3*5}{100*200*300} [/mm] + etc. )
Verwenden sie dazu 50=2*5²=7²+1 und die Reihe für [mm] (1-x)^-\bruch{1}{2} [/mm] Berechnen sie die ersten 5 teilsummen der Reihe. |
Guten Abend ;D
Ich habe Probleme bei der Übungsaufgabe ich habe als ansatz mal Wurzel 2 ausgecshrieben indem ich in die Reihe [mm] (1+x)^\bruch{1}{2} [/mm] 1 eingesetzt habe, wozu das hoch -1/2 ist mir völlig unklar, auch aus dem hinweis dass 50=2*5².. werde ich nicht schlauer.
Ich habe auch schon beide seiten durch 7/5 geteilt und dann beide seiten quadriert, dann sieht das ja annähernd aus wie dee tipp. Es steht dann(auf der linken seite) 5²*2/7², ich habe auch shcon versucht noch eine eins dazu zu schubesen, aber ohne weiteres geht das ja leider nicht. Ich bin grad etwas ratlos wie der Beweis anzugehen ist...
Also wie schon gesagt ich bräuchte hilfe beim kompletten ansatz ich weiß zwar was ich tun soll, aber ich hab schon alle ideen die ich hatte ausgeschlachtet und keine hat mich weiter gebracht...
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> Weisen sie folgende Formel nach Euler nach:
> [mm]$\wurzel(2)=\bruch{7}{5}(1\ +\ \bruch{1}{100}\ +\ \bruch{1*3}{100*200}\ +\ \bruch{1*3*5}{100*200*300}[/mm] + etc. )
> Verwenden sie dazu [mm] 50=2*5^2=7^2+1 [/mm] und die Reihe für
> [mm](1-x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] Berechnen sie die ersten 5 teilsummen
> der Reihe.
> Guten Abend ;D
> Ich habe Probleme bei der Übungsaufgabe ich habe als
> ansatz mal Wurzel 2 ausgecshrieben indem ich in die Reihe
> [mm](1+x)^{\bruch{1}{2}}[/mm] 1 eingesetzt habe, wozu das hoch -1/2
> ist mir völlig unklar, auch aus dem hinweis dass
> [mm] 50=2*5^2.. [/mm] werde ich nicht schlauer.
> Ich habe auch schon beide seiten durch 7/5 geteilt und dann
> beide seiten quadriert, dann sieht das ja annähernd aus
> wie dee tipp. Es steht dann(auf der linken seite)
> [mm] 5^2*2/7^2, [/mm] ich habe auch shcon versucht noch eine eins dazu
> zu schubesen, aber ohne weiteres geht das ja leider nicht.
> Ich bin grad etwas ratlos wie der Beweis anzugehen ist...
> Also wie schon gesagt ich bräuchte hilfe beim kompletten
> ansatz ich weiß zwar was ich tun soll, aber ich hab schon
> alle ideen die ich hatte ausgeschlachtet und keine hat mich
> weiter gebracht...
Hallo xxgenisxx,
zum Tipp, die Reihe für [mm](1-x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] zu betrachten:
der ist möglicherweise so gemeint, dass man dann
[mm] x=\frac{1}{2} [/mm] setzen soll. Für diesen Fall müsste dann
ja die Reihe, falls sie konvergiert, gerade den Wert [mm] \sqrt{2}
[/mm]
liefern.
Diese Reihe ist eine ![[]](/images/popup.gif) Binomialreihe für einen
gebrochenen Exponenten. Für die dabei benötigten Binomial-
koeffizienten siehe diese Definition .
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> zum Tipp, die Reihe für [mm](1-x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] zu
> betrachten:
> der ist wahrscheinlich so gemeint, dass man dann
> [mm]x=\frac{1}{2}[/mm] setzen soll. Für diesen Fall müsste dann
> ja die Reihe, falls sie konvergiert, gerade den Wert
> [mm]\sqrt{2}[/mm]
> liefern.
Ich weiß nicht, ob dein Weg auch irgendwie zum Erfolg führt.
Ich habe die Aufgabe unter Verwendung der beiden Tipps gelöst und dabei die obige Reihe für [mm] $x=\bruch1{50}$ [/mm] benutzt.
Das kommt natürlich jetzt sehr unmotiviert daher.
Heute am späten Abend oder Nachts werde ich voraussichtlich eine Antwort schreiben, in der ich erkläre, was das soll.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Di 22.10.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Danke, das wäre natürlich super!!! :D Mal eoine andere Frage ich bin grad wahnsinnig gestresst und bin nich sicher ob ich mit der Analysis klarkomm, ist das normal für das 3te semester?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xxgenisxx!
> Weisen sie folgende Formel nach Euler nach:
> [mm]$\wurzel(2)=\bruch{7}{5}(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{100}[/mm] +
> [mm]\bruch{1*3}{100*200}[/mm] + [mm]\bruch{1*3*5}{100*200*300}[/mm] + etc. )
> Verwenden sie dazu 50=2*5²=7²+1 und die Reihe für
> [mm](1-x)^-\bruch{1}{2}[/mm]
Ich schildere jetzt nicht den kürzestmöglichen Weg, sondern wie ich anhand der Tipps auf eine Lösung gekommen bin.
Zunächst [mm] $2*5^2=7^2+1$ [/mm] nach $2$ auflösen:
[mm] $2=\bruch{7^2+1}{5^2}$.
[/mm]
Nun die Wurzel ziehen:
[mm] $\wurzel2=\wurzel\bruch{7^2+1}{5^2}$.
[/mm]
Somit gilt
[mm] $\wurzel2=\wurzel{\bruch{7^2}{5^2}(1+\bruch{1}{7^2})}=\bruch{7}{5}\wurzel{1+\bruch{1}{7^2}}$.
[/mm]
Also genügt es,
[mm] $\wurzel{1+\bruch{1}{7^2}}=1+\bruch1{100}+\bruch{1*3}{100*200}+\bruch{1*3*5}{100*200*300}+\ldots$
[/mm]
zu zeigen.
Nun gilt es gemäß dem zweiten Tipp [mm] $\wurzel{1+\bruch{1}{7^2}}$ [/mm] in der Form [mm] $(1-x)^{-\bruch12}$ [/mm] darzustellen.
Es gilt
[mm] $\wurzel{1+\bruch{1}{7^2}}=\wurzel{\bruch{7^2+1}{7^2}}=\left(\bruch{7^2}{7^2+1}\right)^{-\bruch12}=\left(\bruch{7^2+1-1}{7^2+1}\right)^{-\bruch12}=\left(1-\bruch{1}{7^2+1}\right)^{-\bruch12}=\left(1-\bruch{1}{50}\right)^{-\bruch12}$.
[/mm]
Damit haben wir die Form [mm] $(1-x)^{-\bruch12}$ [/mm] mit [mm] $x=\bruch1{50}$ [/mm] erreicht.
Wende nun die dir bekannte Reihendarstellung dieses Terms an.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 23.10.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Ok vielen Dank, das hilft mir definitiv weiter!!
mfg Tobias
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:35 Mi 23.10.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
> Hallo xxgenisxx!
>
>
> > Weisen sie folgende Formel nach Euler nach:
> > [mm]$\wurzel(2)=\bruch{7}{5}(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{100}[/mm] +
> > [mm]\bruch{1*3}{100*200}[/mm] + [mm]\bruch{1*3*5}{100*200*300}[/mm] + etc. )
> > Verwenden sie dazu 50=2*5²=7²+1 und die Reihe für
> > [mm](1-x)^-\bruch{1}{2}[/mm]
> Ich schildere jetzt nicht den kürzestmöglichen Weg,
> sondern wie ich anhand der Tipps auf eine Lösung gekommen
> bin.
>
> Zunächst [mm]2*5^2=7^2+1[/mm] nach [mm]2[/mm] auflösen:
>
> [mm]2=\bruch{7^2+1}{5^2}[/mm].
>
> Nun die Wurzel ziehen:
>
> [mm]\wurzel2=\wurzel\bruch{7^2+1}{5^2}[/mm].
>
> Somit gilt
Doch noch ne Frage von mir:
Wie kommst du auf die folgende Zeile?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Mi 23.10.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Oh ok es ist mir gerade eben klargeworden, danke nochmal!!
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