Nachweis Isomorph. Faktorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper und U, W Untervektorräume des K-Vektorraums V . Zeige, dass
die Abbildung [mm] $\phi [/mm] : U/(U [mm] \cap [/mm] W ) [mm] \to [/mm] (U +W )/W, [w] = w +(U [mm] \cap [/mm] W ) [mm] \mapsto [/mm] [w] = w +W$
ein Isomorphismus ist.
Hinweis: Wie ist die Dimension beider Räume? |
Hallo!
Auch wenn da netterweise nochmal hingeschrieben wurde, was das für Konstrukte sind und sogar noch ein Hinweis dasteht, gucke ich gerade ein wenig in die Röhre.
Also, ich habe erstmal versucht, die Dimension der Räume zu bestimmen:
[mm] $U\cap [/mm] W$ ist ein Untervektorraum von U, wage ich zu behaupten. Dann gibt es ein X, sodass $X [mm] \oplus (U\cap [/mm] W) = U$ (direkte Summe). Daraus folgt $dim(X) + [mm] dim(U\cap [/mm] W) = dim(U)$,
oder eben $dim(X) = dim(U) - [mm] dim(U\cap [/mm] W)$. Ich weiß, dass $dim(X) = dim(U / [mm] (U\cap [/mm] W))$ ist, also folgt:
$dim(U / [mm] (U\cap [/mm] W)) = dim(U) - [mm] dim(U\cap [/mm] W)$
Analog erhalte ich:
$dim((U+W) / W) = dim(U+W) - dim(W)$
--> Mit Hilfe der Formel $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - [mm] dim(U\cap [/mm] W)$ erhalte ich damit, dass die beiden Faktorräume die gleiche Dimension haben.
--> Was hilft mir das jetzt konkret? Da die Vektorräume wahrscheinlich endlich sind (steht zwar nicht da, aber wenn im Hinweis nach der Dimension gefragt ist...), kann ich damit folgern, dass ich für [mm] \phi [/mm] nur Injektivität oder Surjektivität zeigen muss, oder?
Ich habe mich mal an der Injektivität versucht:
Seien [mm] $[w_{1}] [/mm] = [mm] (w_{1} [/mm] + [mm] (U\cap W)),[w_{2}] [/mm] = [mm] (w_{2} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W)) [mm] \in [/mm] U / [mm] (U\cap [/mm] W)$ mit
[mm] $\phi([w_{1}]) [/mm] = [mm] w_{1} [/mm] + W = [mm] w_{2} [/mm] + W = [mm] \phi([w_{2}])$.
[/mm]
Ähem....
Wie geht es weiter  ?
Muss ich auch noch Linearität zeigen? Das ist nicht so schwer, glaube ich.
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Fr 12.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
tatsächlich gehe ich mal davon aus, dass U und W als endlichdimensional vorausgesetzt sein sollen. Ansonsten wüsste ich nicht, wie sich die gesuchten Dimensionen bestimmen lassen sollten. (Die Isomorphie ließe sich trotzdem problemlos nachweisen.)
> Also, ich habe erstmal versucht, die Dimension der Räume
> zu bestimmen:
>
> [mm]U\cap W[/mm] ist ein Untervektorraum von U, wage ich zu
> behaupten. Dann gibt es ein X, sodass [mm]X \oplus (U\cap W) = U[/mm]
> (direkte Summe). Daraus folgt [mm]dim(X) + dim(U\cap W) = dim(U)[/mm],
>
> oder eben [mm]dim(X) = dim(U) - dim(U\cap W)[/mm].
Der letzte Schritt geht nur, wenn man tatsächlich [mm] $U\cap [/mm] W$ als endlichdimensional voraussetzt.
> Ich weiß, dass
> [mm]dim(X) = dim(U / (U\cap W))[/mm] ist, also folgt:
>
> [mm]dim(U / (U\cap W)) = dim(U) - dim(U\cap W)[/mm]
>
> Analog erhalte ich:
>
> [mm]dim((U+W) / W) = dim(U+W) - dim(W)[/mm]
Hattet ihr nicht den Zusammenhang [mm] $\operatorname{dim}U/V+\operatorname{dim}U=\operatorname{dim}V$ [/mm] für beliebige Vektorräume V und Unterräume [mm] $U\subset [/mm] V$? Damit geht das etwas direkter.
> --> Mit Hilfe der Formel [mm]dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U\cap W)[/mm]
> erhalte ich damit, dass die beiden Faktorräume die gleiche
> Dimension haben.
>
> --> Was hilft mir das jetzt konkret? Da die Vektorräume
> wahrscheinlich endlich sind (steht zwar nicht da, aber wenn
> im Hinweis nach der Dimension gefragt ist...), kann ich
> damit folgern, dass ich für [mm]\phi[/mm] nur Injektivität oder
> Surjektivität zeigen muss, oder?
Gute Idee! Im Zweifelsfall könnte man den Aufgabensteller fragen, wie die Aufgabe gemeint war. Oder man macht zur Übung trotzdem auch die Surjektivität und deckt damit auch den Fall nicht-endlicher Dimensionen ab.
> Ich habe mich mal an der Injektivität versucht:
>
> Seien [mm][w_{1}] = (w_{1} + (U\cap W)),[w_{2}] = (w_{2} + (U\cap W)) \in U / (U\cap W)[/mm]
Für später: Wo leben also [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$?
[/mm]
> mit
>
> [mm]\phi([w_{1}]) = w_{1} + W = w_{2} + W = \phi([w_{2}])[/mm].
>
> Ähem....
> Wie geht es weiter ?
Wann gilt nochmal [mm] $w_1+W=w_2+W$? [/mm] Genau dann, wenn [mm] $w_1-w_2\in [/mm] W$. Zu zeigen ist [mm] $w_1+U\cap W=w_2+U\cap [/mm] W$, d.h. ...
Übrigens ist es häufig praktisch, wenn man eine Injektivität einer linearen Abbildung zeigen will, nur zu zeigen, dass der Kern 0 ist.
> Muss ich auch noch Linearität zeigen? Das ist nicht so
> schwer, glaube ich.
Ich denke schon, dass du das solltest. Ist in der Tat nicht schwer.
Und die Wohldefiniertheit nicht vergessen! Schließlich wird bei der Definition der Abbildung der Repräsentant w der Restklasse [mm] $w+U\cap [/mm] W$ benutzt.
(Sehr elegant (aber dafür halt nicht so naheliegend) lässt sich diese Aufgabe übrigens mit dem Homomorphiesatz lösen: Die Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] lässt sich aus ihm gewinnen. So erhält man automatisch Wohldefiniertheit und Linearität. Außerdem werden häufig mit dem Homomorphiesatz auch Kriterien angegeben, wann die erhaltene Abbildung injektiv bzw. surjektiv ist.)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo Tobias,
danke für deine Hilfe
> > Ich habe mich mal an der Injektivität versucht:
> >
> > Seien [mm][w_{1}] = (w_{1} + (U\cap W)),[w_{2}] = (w_{2} + (U\cap W)) \in U / (U\cap W)[/mm]
> Für später: Wo leben also [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm]?
[mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] kommen grundsätzlich erstmal aus U.
(würde ich behaupten).
Die Wohldefiniertheit habe ich jetzt einfach mal vorausgesetzt, wir hatten ähnliches schonmal gezeigt.
Den Homomorphiesatz hatten wir leider noch nicht; und den Faktorraum haben wir immer nur auf Übungszetteln kennengelernt.
> > mit
> >
> > [mm]\phi([w_{1}]) = w_{1} + W = w_{2} + W = \phi([w_{2}])[/mm].
> >
>
> > Ähem....
> > Wie geht es weiter ?
> Wann gilt nochmal [mm]w_1+W=w_2+W[/mm]? Genau dann, wenn [mm]w_1-w_2\in W[/mm].
> Zu zeigen ist [mm]w_1+U\cap W=w_2+U\cap W[/mm], d.h. ...
Aha, ich weiß jetzt also, dass [mm] w_{1}-w_{2}\in [/mm] W,
aber gleichzeitig auch in U liegt. Also ist
[mm] $w_{1}-w_{2}\in U\cap [/mm] W$.
Ich muss ja zeigen, dass [mm] [w_{1}] [/mm] = [mm] w_{1} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W) = [mm] w_{2} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W) = [mm] [w_{2}] [/mm] ist. Aber ist das jetzt nicht schon "klar", wenn [mm] $w_{1} [/mm] - [mm] w_{2} \in (U\cap [/mm] W)$ ?
Alternativ mit dem Kern ein Versuch:
$ [mm] \phi [/mm] : U/(U [mm] \cap [/mm] W ) [mm] \to [/mm] (U +W )/W, [w] = w +(U [mm] \cap [/mm] W ) [mm] \mapsto [/mm] [w] = w +W $
Sei [mm] $[v]\in Kern(\phi) \subset [/mm] U$. Das bedeutet, [mm] $\phi([v]) [/mm] = [0] = 0 + W$, also [mm] $\phi([v])\in [/mm] W$.
Aber wie komme ich jetzt darauf, dass [v] = [0] sein muss?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Fr 12.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > Ich habe mich mal an der Injektivität versucht:
> > >
> > > Seien [mm][w_{1}] = (w_{1} + (U\cap W)),[w_{2}] = (w_{2} + (U\cap W)) \in U / (U\cap W)[/mm]
> > Für später: Wo leben also [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm]?
>
> [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] kommen grundsätzlich erstmal aus U.
> (würde ich behaupten).
Genau.
> Die Wohldefiniertheit habe ich jetzt einfach mal
> vorausgesetzt, wir hatten ähnliches schonmal gezeigt.
Meiner Meinung nach müsste sie trotzdem hier gezeigt werden. Deine Entscheidung, ob du das zur Übung tun möchtest.
> Den Homomorphiesatz hatten wir leider noch nicht; und den
> Faktorraum haben wir immer nur auf Übungszetteln
> kennengelernt.
Oh, ungewöhnlich. Naja, die Aufgabe geht ja auch gut ohne Homomorphiesatz.
> Aha, ich weiß jetzt also, dass [mm]w_{1}-w_{2}\in[/mm] W,
> aber gleichzeitig auch in U liegt. Also ist
>
> [mm]w_{1}-w_{2}\in U\cap W[/mm].
>
> Ich muss ja zeigen, dass [mm][w_{1}][/mm] = [mm]w_{1}[/mm] + [mm](U\cap[/mm] W) =
> [mm]w_{2}[/mm] + [mm](U\cap[/mm] W) = [mm][w_{2}][/mm] ist. Aber ist das jetzt nicht
> schon "klar", wenn [mm]w_{1} - w_{2} \in (U\cap W)[/mm] ?
Genau. (Für beliebige Unterräume [mm] $U\subset [/mm] V$ von Vektorräumen und Vektoren [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ gilt stets: [mm] $v_1+U=v_2+U\gdw v_1-v_2\in [/mm] U$. Ich hoffe, ihr habt das auf einem Übungszettel gezeigt.)
> Alternativ mit dem Kern ein Versuch:
>
> Sei [mm][v]\in Kern(\phi) \subset U[/mm]. Das bedeutet, [mm]\phi([v]) = [0] = 0 + W[/mm],
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also [mm]\phi([v])\in W[/mm].
Nein, [mm] $\phi([v])$ [/mm] ist ein Vektor in $(U+W)/W$, nicht in V, also erst recht nicht in W. Es gilt [mm] $v+W=\phi([v])=0+W$, [/mm] also [mm] $v\in [/mm] W$ (Zwischenschritt: [mm] $v-0\in [/mm] W$).
> Aber wie komme ich jetzt darauf, dass
> [v] = [0] sein muss?
Zu zeigen ist also [mm] $v+(U\cap W)=0+(U\cap [/mm] W)$...
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für deine Antwort, Tobias!
> > Die Wohldefiniertheit habe ich jetzt einfach mal
> > vorausgesetzt, wir hatten ähnliches schonmal gezeigt.
> Meiner Meinung nach müsste sie trotzdem hier gezeigt
> werden. Deine Entscheidung, ob du das zur Übung tun
> möchtest.
Dann probiere ich es mal.
Es wird ja abhängig von einem Repräsentanten w einem Element [w] des Faktorraums $U / [mm] (U\cap [/mm] W)$ das Element [w] des Faktorraums $(U+W) / W$ zugeordnet.
Wenn ich nun also [mm] w_{1},w_{2}\in [/mm] U wähle mit [mm] $[w_{1}] [/mm] = [mm] (w_{1} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W)) = [mm] (w_{2} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W)) = [mm] [w_{2}]$, [/mm] dann müsste auch
[mm] $[w_{1}] [/mm] = [mm] (w_{1} [/mm] + W) = [mm] (w_{2} [/mm] + W) = [mm] [w_{2}]$ [/mm] sein.
Ist das das, was ich zeigen muss?
Aus [mm] $(w_{1} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W)) = [mm] (w_{2} [/mm] + [mm] (U\cap [/mm] W))$ folgt ja wieder [mm] $w_{1}-w_{2}\in (U\cap [/mm] W)$.
Das bedeutet insbesondere, dass [mm] $w_{1}-w_{2}\in [/mm] W$ ist, also folgt:
[mm] $(w_{1} [/mm] + W) = [mm] (w_{2} [/mm] + W)$
?
(Ich komme mir immer so unsicher vor mit diesen ganzen Faktorräumen... :-( )
> > Aha, ich weiß jetzt also, dass [mm]w_{1}-w_{2}\in[/mm] W,
> > aber gleichzeitig auch in U liegt. Also ist
> >
> > [mm]w_{1}-w_{2}\in U\cap W[/mm].
> >
> > Ich muss ja zeigen, dass [mm][w_{1}][/mm] = [mm]w_{1}[/mm] + [mm](U\cap[/mm] W) =
> > [mm]w_{2}[/mm] + [mm](U\cap[/mm] W) = [mm][w_{2}][/mm] ist. Aber ist das jetzt nicht
> > schon "klar", wenn [mm]w_{1} - w_{2} \in (U\cap W)[/mm] ?
> Genau. (Für beliebige Unterräume [mm]U\subset V[/mm] von
> Vektorräumen und Vektoren [mm]v_1,v_2\in V[/mm] gilt stets:
> [mm]v_1+U=v_2+U\gdw v_1-v_2\in U[/mm]. Ich hoffe, ihr habt das auf
> einem Übungszettel gezeigt.)
>
> > Alternativ mit dem Kern ein Versuch:
> >
> > Sei [mm][v]\in Kern(\phi) \subset U[/mm]. Das bedeutet, [mm]\phi([v]) = [0] = 0 + W[/mm],
>
> > also [mm]\phi([v])\in W[/mm].
> Nein, [mm]\phi([v])[/mm] ist ein Vektor in
> [mm](U+W)/W[/mm], nicht in V, also erst recht nicht in W. Es gilt
> [mm]v+W=\phi([v])=0+W[/mm], also [mm]v\in W[/mm] (Zwischenschritt: [mm]v-0\in W[/mm]).
Ah, okay, das habe ich verstanden.
> > Aber wie komme ich jetzt darauf, dass
> > [v] = [0] sein muss?
> Zu zeigen ist also [mm]v+(U\cap W)=0+(U\cap W)[/mm]...
Okay, wenn ich weiß, dass [mm] v\in [/mm] U und [mm] v\in [/mm] W sein muss (und somit [mm] v\in U\cap [/mm] W), dann folgt das obige.
Stimmt das?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Fr 12.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Es wird ja abhängig von einem Repräsentanten w einem
> Element [w] des Faktorraums [mm]U / (U\cap W)[/mm] das Element [w]
> des Faktorraums [mm](U+W) / W[/mm] zugeordnet.
>
> Wenn ich nun also [mm]w_{1},w_{2}\in[/mm] U wähle mit [mm][w_{1}] = (w_{1} + (U\cap W)) = (w_{2} + (U\cap W)) = [w_{2}][/mm],
> dann müsste auch
> [mm][w_{1}] = (w_{1} + W) = (w_{2} + W) = [w_{2}][/mm] sein.
>
> Ist das das, was ich zeigen muss?
Ja, haargenau!
> Aus [mm](w_{1} + (U\cap W)) = (w_{2} + (U\cap W))[/mm] folgt ja
> wieder [mm]w_{1}-w_{2}\in (U\cap W)[/mm].
> Das bedeutet
> insbesondere, dass [mm]w_{1}-w_{2}\in W[/mm] ist, also folgt:
>
> [mm](w_{1} + W) = (w_{2} + W)[/mm]
>
> ?
Perfekt!
> (Ich komme mir immer so unsicher vor mit diesen ganzen
> Faktorräumen... :-( )
Meinem Eindruck nach scheinst gut damit zurecht zu kommen!
> > Zu zeigen ist also [mm]v+(U\cap W)=0+(U\cap W)[/mm]...
>
> Okay, wenn ich weiß, dass [mm]v\in[/mm] U und [mm]v\in[/mm] W sein muss (und
> somit [mm]v\in U\cap[/mm] W), dann folgt das obige.
>
> Stimmt das?
Ja! Und du weißt in der Tat, dass [mm]v\in[/mm] U und [mm]v\in[/mm] W sein muss (klar?).
|
|
|
| |
|
Hallo Tobias,
so langsam kommt Licht ins Dunkel...
(Ich schreibe nämlich morgen LA1-Klausur und bin dir dankbar, dass du mir hilfst, meine Schwächen in Faktorraum-Angelegenheiten auszubügeln ).
> > > Zu zeigen ist also [mm]v+(U\cap W)=0+(U\cap W)[/mm]...
> >
> > Okay, wenn ich weiß, dass [mm]v\in[/mm] U und [mm]v\in[/mm] W sein muss (und
> > somit [mm]v\in U\cap[/mm] W), dann folgt das obige.
> >
> > Stimmt das?
> Ja! Und du weißt in der Tat, dass [mm]v\in[/mm] U und [mm]v\in[/mm] W sein
> muss (klar?).
Ich rekapituliere nochmal:
Ich wähle ein [mm] $[v]\in Kern(\phi) \subset [/mm] (U / [mm] (U\cap [/mm] W))$.
Das bedeutet insbesondere [mm] v\in [/mm] U.
Weil [mm] $[v]\in Kern(\phi)$, [/mm] ist $v + W = [v] = [mm] \phi([v]) [/mm] = [0] = 0 + W$ (weil wir uns jetzt im Bildraum befinden).
Das bedeutet, dass $(v-0) [mm] \in [/mm] W$, also [mm] $v\in [/mm] W$.
Also ist [mm] $v\in (U\cap [/mm] W)$.
Das bedeutet aber insbesondere, dass [mm] $(v-0)\in (U\cap [/mm] W)$, also
$[v] = v + [mm] (U\cap [/mm] W) = 0 + [mm] (U\cap [/mm] W) = [0]$ (Äquivalenzklassen im Urbildraum).
gilt. Also ist [mm] $Kern(\phi) [/mm] = [mm] \{[0]\}$.
[/mm]
Okay?
Danke für Deine / Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Fr 12.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich rekapituliere nochmal:
>
> Ich wähle ein [mm][v]\in Kern(\phi) \subset (U / (U\cap W))[/mm].
>
> Das bedeutet insbesondere [mm]v\in[/mm] U.
>
> Weil [mm][v]\in Kern(\phi)[/mm], ist [mm]v + W = [v] = \phi([v]) = [0] = 0 + W[/mm]
> (weil wir uns jetzt im Bildraum befinden).
> Das bedeutet, dass [mm](v-0) \in W[/mm], also [mm]v\in W[/mm].
>
> Also ist [mm]v\in (U\cap W)[/mm].
>
> Das bedeutet aber insbesondere, dass [mm](v-0)\in (U\cap W)[/mm],
> also
>
> [mm][v] = v + (U\cap W) = 0 + (U\cap W) = [0][/mm]
> (Äquivalenzklassen im Urbildraum).
>
> gilt. Also ist [mm]Kern(\phi) = \{[0]\}[/mm].
>
> Okay?
Ja, habe hier selten so perfekte Zusammenfassungen von Fragestellern gelesen!
Dann morgen viel Erfolg!
|
|
|
| |
|
Danke, ich geb mein Bestes
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Oh, ungewöhnlich. Naja, die Aufgabe geht ja auch gut ohne
> Homomorphiesatz.
WObei der die Waffe der Wahl ist, und damit die Aufgabe eher trivial:
Betrachte [m]l:U\to U+W\to (U+W)/W[/m], wobei erste Abb. die natürlcihe Inklusion, zweite die natürliche Projektion ist.
1. l ist surjektiv: Sei [m][u+w]\in (U+W)/W[/m], dann gilt sicher [m][u+w]\sim [u][/m]. Also ist u ein Urbild.
2. Was ist der Kern von l? Nun, sei [m][u]=[0][/m] dann gilt dies nach Def. genau dann wenn [m]u\in W[/m], also genau dann wenn [m]u\in U\cap W[/m]. Also ist der Kern [m]U\cap W[/m].
SEcki
|
|
|
|
