Nachweis der Assoziativität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Mi 20.05.2009 | | Autor: | laihla |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Menge der Funktionen {fo, f1, f2, f3, f4, f5} bezüglich der Nacheinanderausführung assoziativ ist. |
Hier habe ich das Problem, dass mehr als 3 Elemente gegeben sind. Würde die Menge M nur aus f0, f1, f2 bestehen, so würde ich die Assoziativität folgendermaßen nachweisen, indem ich zeige, dass gilt:
(f0*f1)*f2=f0*(f1*f2)
Wie ist es aber jetzt bei mehr als 3 Elementen? Das verwirrt mich irgendwie.
Kann mir jemand da weiterhelfen?
Grüßchen laihla
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Hallo laihla,
> Zeigen sie, dass die Menge der Funktionen {fo, f1, f2, f3,
> f4, f5} bezüglich der Nacheinanderausführung assoziativ
> ist.
> Hier habe ich das Problem, dass mehr als 3 Elemente
> gegeben sind. Würde die Menge M nur aus f0, f1, f2
> bestehen, so würde ich die Assoziativität folgendermaßen
> nachweisen, indem ich zeige, dass gilt:
> (f0*f1)*f2=f0*(f1*f2)
> Wie ist es aber jetzt bei mehr als 3 Elementen? Das
> verwirrt mich irgendwie.
Im Prinzip gehst du analog vor:
stell dir vor, es gelte: [mm] f_6=f_2*f_3
[/mm]
dann zeige, dass gilt:
[mm] (f_0*f_1)*f_6=f_0*(f_1*f_6) [/mm] dazu musst du im Verlauf [mm] f_6 [/mm] durch [mm] f_2*f_3 [/mm] ersetzen und alles muss immer noch stimmen!
Was versteckt sich denn hinter diesen Funktionsnamen?
> Kann mir jemand da weiterhelfen?
> Grüßchen laihla
Gruß informix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 20.05.2009 | | Autor: | laihla |
| Aufgabe | Hinter den Funktionen steckt:
f0(x)=x, f1(x)= 1-x, [mm] f2(x)=\bruch{x-1}{x}, f3(x)=\bruch{1}{x}, f4(x)=\bruch{1}{1-x}, f5=\bruch{x}{x-1} [/mm] |
Das bedeutet also, dass ich das so nachweise:
(f0*f1)*((f2*f3*f4*f5))=f0*(f1*(f2*f3*f4*f5)),
also dass ich das Ergebnis von der Nacheinanderausführung (NAF) von f0*f1 mit dem Ergebnis von der NAF von f2*f3*f4*f5 verknüpfe und zeige, das es gleich der anderen Seite der Gleichung entspricht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hinter den Funktionen steckt:
> f0(x)=x, f1(x)= 1-x, [mm]f2(x)=\bruch{x-1}{x}, f3(x)=\bruch{1}{x}, f4(x)=\bruch{1}{1-x}, f5=\bruch{x}{x-1}[/mm]
>
> Das bedeutet also, dass ich das so nachweise:
> (f0*f1)*((f2*f3*f4*f5))=f0*(f1*(f2*f3*f4*f5)),
das wäre eine Folgerung, die sich aus dem vorher zu beweisenden ergeben würde.
> also dass ich das Ergebnis von der Nacheinanderausführung
> (NAF) von f0*f1 mit dem Ergebnis von der NAF von
> f2*f3*f4*f5 verknüpfe und zeige, das es gleich der anderen
> Seite der Gleichung entspricht?
Du musst hier eigentlich einiges nachrechnen:
[mm] $(f_i \circ f_j) \circ f_k=f_i \circ (f_j \circ f_k)$ [/mm] für alle Möglichkeiten [mm] $(i,j,k)\,$ [/mm] mit $i,j,k [mm] \in \{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\}\,.$
[/mm]
Das wären [mm] $6^3=216$ [/mm] Kombinationsmöglichkeiten multipliziert mit [mm] $2\,$ [/mm] Gleichungen, also [mm] $432\,$ [/mm] Gleichungen, die Du nachzurechnen hättest... und was denkst Du dann, wenn Du das hörst?
Richtig: "Verdammt, ich muss mir viel Zeit nehmen!!!"
Gut, fangen wir mal an:
[mm] $$(\underbrace{f_0 \circ f_0}_{=f_0}) \circ f_0=f_0 \circ f_0=f_0,$$
[/mm]
[mm] $$f_0 \circ (\underbrace{f_0 \circ f_0}_{=f_0}) =f_0 \circ f_0=f_0,$$
[/mm]
Passt schonmal!
[mm] $$(\underbrace{f_0 \circ f_0}_{=f_0}) \circ f_1=f_0 \circ f_1,\,$$
[/mm]
[mm] $$f_0 \circ (\underbrace{f_0 \circ f_1}_{=f_1})=f_0 \circ f_1$$
[/mm]
Auch gut!
[mm] $$(\underbrace{f_0 \circ f_0}_{=f_0}) \circ f_2=f_0 \circ f_2,\,$$
[/mm]
[mm] $$f_0 \circ (\underbrace{f_0 \circ f_2}_{=f_2})=f_0 \circ f_2$$
[/mm]
Ahja, sieht schonmal gut aus, allgemeiner erkennt man:
[mm] $$(\underbrace{f_0 \circ f_0}_{=f_0}) \circ f_k=f_0 \circ f_k,\,$$
[/mm]
[mm] $$f_0 \circ (\underbrace{f_0 \circ f_k}_{=f_k})=f_0 \circ f_k\;\;\;k=0,1,2,3,4,5...$$
[/mm]
Und wenn's Dir geht wie mir, hast Du auch jetzt schon keine Lust mehr. Deswegen erstmal folgendes:
Wir betrachten Funktionen $f:P [mm] \to [/mm] Q$, $g:N [mm] \to [/mm] P$ und $h: M [mm] \to N\,.$ [/mm] Dann ist $f [mm] \circ [/mm] g: N [mm] \to [/mm] Q$ und $g [mm] \circ [/mm] h: M [mm] \to [/mm] P$ und somit folglich
$$(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h: M [mm] \to [/mm] Q$$
und
$$f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h): M [mm] \to Q\,.$$
[/mm]
Wunderbar ist also schonmal, dass $(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h$ und $f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)$ sowohl den gleichen Definitionsbereich [mm] $M\,$ [/mm] als auch den gleichen Zielbereich [mm] $Q\,$ [/mm] haben.
Zeige nun:
Für jedes $m [mm] \in [/mm] M$ gilt [mm] $\big((f \circ [/mm] g) [mm] \circ h\big)(m)=\big(f \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\big)(m)\,.$
[/mm]
Was hast Du damit allgemein gezeigt? (Insbesondere auch für [mm] $\,M=P=Q$.)
[/mm]
Wie hilft Dir das oben, wenn Du beachtest, dass oben wohl $x [mm] \in \IK$ [/mm] sein soll (vermutlich [mm] $\IK \in \{\IR,\;\IC\}$)? [/mm]
Was folgt dann bzgl. der zu überprüfenden Gleichungen sofort? (Musst Du immer noch [mm] $432\,$ [/mm] Gleichungen bzw., wenn man es kompakter schreibt, [mm] $216\,$ [/mm] Gleichungen kontrollieren?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Fr 22.05.2009 | | Autor: | laihla |
Hat zwar jetzt etwas länger gedauert, aber vielen vielen Dank!!!
Allgemein beweise ich, dass Funktionen kommutativ sind! (Da hätte ich viel früher drauf kommen können).
Mein Vorschlag:
Seien f,g,h Funktionen, und sei * die Verknüpfung:
zu zeigen: ((h*g)*f)(x)= (h*(g*f))(x)
Und es gilt: ((h*g)*f)(x)= (h*g)(f(x)= h(g(f(x)))
und weiter: (h*(g*f))(x)= (h*g)(f(x))= h(g(f(x))).
Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Fr 22.05.2009 | | Autor: | laihla |
Ich meine Assoziativität :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hat zwar jetzt etwas länger gedauert, aber vielen vielen
> Dank!!!
> Allgemein beweise ich, dass Funktionen kommutativ sind!
hast ja schon korrigiert, dass Du 'assoziativ' meinst. Aber Du kannst Deine Beitrage auch editieren!
> (Da hätte ich viel früher drauf kommen können).
> Mein Vorschlag:
> Seien f,g,h Funktionen, und sei * die Verknüpfung:
> zu zeigen: ((h*g)*f)(x)= (h*(g*f))(x)
> Und es gilt: ((h*g)*f)(x)= [mm] (h*g)(f(x)$\red{)}$= [/mm] h(g(f(x)))
Das ist okay!
> und weiter: (h*(g*f))(x)= (h*g)(f(x))= h(g(f(x))).
Wie begründest Du die erste Gleichheit? Das geht hier so
$$(h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f))(x)=h((g [mm] \circ [/mm] f(x))$$
(Sprich' es mal aus:
$$(h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f))(x)$$
h nach (g nach f) - ausgewertet an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] - ist
[mm] $$h\big((g \circ f)(x)\big)$$
[/mm]
die Auswertung von [mm] $h\,$ [/mm] an der Stelle $(g [mm] \circ f)(x)\,$)
[/mm]
und wenn Du nun $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=g(f(x))$ benutzt, dann kommst Du insgesamt zu
$$(h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ f))(x)=h\big((g \circ f)(x)\big)=h(g(f(x)))\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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