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| Aufgabe | Sei K ein angeordneter Körper, in dem das Dedekindsche Schnittaxiom gilt.
Folgere, dass K vollständig ist. |
Hallo!
Ich denke, die Aufgabe ist gelöst, wenn ich zeigen kann, dass eine gegebene Cauchy-Folge in K konvergiert.
Dazu müsste ich einen Dedekindschen Schnitt konstruieren, so dass der Limes dieser Folge gerade die Schnittzahl ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob folgende Konstruktion korrekt ist:
Sein [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchy-Folge in K.
Wäre K vollständig, so gäbe es ein [mm] s\inK [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightArrow\inf}(a_n) [/mm] = s.
Zu zeigen ist also, dass dieses s tatsächlich in K liegt.
Sei nun [mm] A\subsetK [/mm] definiert durch A = [mm] \{x\inK | x \le s\}.
[/mm]
Weiter sei [mm] B\subsetK [/mm] definiert durch B = [mm] \{x\inK | x > s\}.
[/mm]
Dann sind A, B nicht leer, und [mm] A\cupB [/mm] = K, und es gilt x < y für alle [mm] x\inA [/mm] und [mm] y\inB.
[/mm]
D.h. A und B bilden einen Dedekindschen Schnitt.
Es gibt also genau ein [mm] k\inK [/mm] mit [mm] x\lek\ley [/mm] für alle [mm] x\inA, y\inB.
[/mm]
Da s diese Bedingung erfüllt, gilt s=k, und somit konvergiert [mm] (a_n) [/mm] in K.
Das zeigt, dass K vollständig ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob es zulässig ist, vorrauszusetzen, dass [mm] (a_n) [/mm] einen Grenzwert besitzt, der aber eventuell nicht in K liegt.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand hier weiterhelfen könnte.
Auch einen Hinweis, wie ich vielleicht einen Schnitt konstruieren kann ohne das Wort Grenzwert zu benutzen fände ich toll :)
Vielen Dank im Vorraus,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein angeordneter Körper, in dem das Dedekindsche
> Schnittaxiom gilt.
> Folgere, dass K vollständig ist.
>
> Ich denke, die Aufgabe ist gelöst, wenn ich zeigen kann,
> dass eine gegebene Cauchy-Folge in K konvergiert.
> Dazu müsste ich einen Dedekindschen Schnitt konstruieren,
> so dass der Limes dieser Folge gerade die Schnittzahl ist.
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob folgende Konstruktion korrekt
> ist:
>
> Sein [mm](a_n)[/mm] eine Cauchy-Folge in K.
> Wäre K vollständig, so gäbe es ein [mm]s\inK[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightArrow\inf}(a_n)[/mm] = s.
> Zu zeigen ist also, dass dieses s tatsächlich in K
> liegt.
Nun, hier hast du tatsaechlich ein Problem: habt ihr gezeigt, dass jeder Koerper eine Vervollstaendigung besitzt, dass es also einen vollstaendigen angeordneten Koerper gibt, in dem man $K$ einbetten kann? Wenn ja, darfst du so argumentieren. Ansonsten nicht.
> Sei nun [mm]A\subsetK[/mm] definiert durch A = [mm]\{x\inK | x \le s\}.[/mm]
>
> Weiter sei [mm]B\subsetK[/mm] definiert durch B = [mm]\{x\inK | x > s\}.[/mm]
>
> Dann sind A, B nicht leer und [mm]A\cupB[/mm] = K, und es gilt x <
> y für alle [mm]x\inA[/mm] und [mm]y\inB.[/mm]
> D.h. A und B bilden einen Dedekindschen Schnitt.
> Es gibt also genau ein [mm]k\in K[/mm] mit [mm]x\le k\le y[/mm] für alle
> [mm]x\in A, y\in B.[/mm]
> Da s diese Bedingung erfüllt, gilt s=k, und
> somit konvergiert [mm](a_n)[/mm] in K.
> Das zeigt, dass K vollständig ist.
Ja.
> Ich bin mir nicht sicher, ob es zulässig ist,
> vorrauszusetzen, dass [mm](a_n)[/mm] einen Grenzwert besitzt, der
> aber eventuell nicht in K liegt.
Nun, wie oben schon gesagt, das kannst du nicht umbedingt.
> Auch einen Hinweis, wie ich vielleicht einen Schnitt
> konstruieren kann ohne das Wort Grenzwert zu benutzen
> fände ich toll :)
Zeige doch erstmal: jede monoton fallende beschraenkte Folge ist konvergent. Dazu konstruiere einen passenden Dedekindschen Schnitt, der der Grenzwert sein muss. (Nimm die eine Menge einfach als $K$ ohne die andere Menge.)
Dann zeige sehr aehnlich, dass das Supremum von jeder nicht-leeren, nach oben beschraenkten Teilmenge von $K$ existiert.
Dann zeige: ist [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge, so ist [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $b_n [/mm] := [mm] \sup\{ a_m \mid m \ge n \}$ [/mm] eine monoton fallende beschraenkte Folge. Diese muss also nach vorherigen einen Grenzwert besitzen.
Und schliesslich zeige: die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen $s := [mm] \lim_{n\to\infty} b_n$.
[/mm]
LG Felix
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