Nachweis einer Stammfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Shire |
| Aufgabe | Eine Funktion g sei gegeben durch [mm] y=g(x)=ln\bruch{x^{2}}{x+1} [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] R, x>-1, x [mm] \not= [/mm] 0
Zeigen Sie, dass G mit G(x)=2xlnx-(x+1)ln(x+1)-x, x [mm] \varepsilon [/mm] R, x>-1, x [mm] \not= [/mm] 0 eine Stammfunktion der Funktion g ist und berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{1}^{3}{g(x) dx}. [/mm] |
Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich G(x) ableiten und dabei auf g(x) kommen, oder?
Aber wie gehe ich an die Aufgabe ran: bei Log. klafft bei mir ein großes Loch, das ich mit meinem Tafelwerk allein nicht füllen kann.
Mein Ansatz wäre folgender:
lnx = [mm] log_{e}x [/mm] das hieße:
2xlnx = [mm] 2xlog_{e}x [/mm] und
(x+1)ln(x+1) = [mm] (x+1)log_{e}(x+1)
[/mm]
Demnach wäre ja dann G(x)= [mm] 2xlog_{e}x-(x+1)log_{e}(x+1)-x
[/mm]
Meine erste konkrete Frage wäre: Wie fasse ich richtig zusammen?
Laut Tafelwerk gilt ebenfalls: [mm] log_{a}\bruch{u}{v}=log_{a}u-log_{a}v
[/mm]
Daraus ergibt sich die zweite Frage (die sich, evtl durch beantwortung der ersten schon erledigt haben könnte): was mache ich mit den Ausdrücken vor dem log? (also mit 2x und (x+1))?
Ich danke euch schonmal im Vorraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Deine vorigen Überlegungen sind weitestgehend korrekt; jedoch relativ unnötig.
Zusammenfassen kann man da nicht; Ausdrücke "im Logarithmus" und ohne sind nicht zusammenfassbar; man müsste "einen logarithmieren" oder (hier) den anderen Ausdruck "hoch e nehmen".
Da dies aber jeweils mit beiden Ausdrücken gemacht werden muss, würdest du dich damit im Kreis drehen.
Beachte, dass mit
2xlnx ein Produkt vorliegt!
Es ist ja die "Kurzform" von 2x * ln(x); der 2. Summand ist ebenfalls ein Produkt.
Einfach beide Teile nach Produktregel ableiten und letztendlich zusammenfassen.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Shire |
Hallo Maggons,
erstmal danke für die extrem schnelle Antwort ;)
Ich hab versucht G(x) abzuleiten und bin auf folgende Lösung gekommen:
[mm] 2lnx+2x*\bruch{1}{xlne}-2ln(x+1)+(x+1)*\bruch{1}{(x+1)lne}-1
[/mm]
Ist das korrekt? Und wenn ja: Wie forme ich das zum gegebenen g(x) um? o.0
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> [mm]2lnx+2x*\bruch{1}{xlne}-2ln(x+1)+(x+1)*\bruch{1}{(x+1)lne}-1[/mm]
Das ist fast richtig. Bloß bei deinem dritten Summanden ist der Faktor "2" zuviel. Die richtige Ableitung lautet also:
[mm]G(x) = 2x*\ln(x) - (x+1)*\ln(x+1) - x[/mm]
[mm]\Rightarrow G'(x) = \underbrace{\left(2*\ln(x) + 2x*\bruch{1}{x}\right)}_{ErsterSummandAbgeleitet} - \underbrace{\left(\ln(x+1) + (x+1)*\bruch{1}{x+1}\right)}_{ZweiterSummandAbgeleitet} - 1[/mm]
Jeweils die zweiten Summanden in ErsterSummandAbgeleitet und ZweiterSummandAbgeleitet werden eine konstante Zahl, indem man kürzt:
[mm]\gdw G'(x) = \left(2*\ln(x) + 2\right) - \left(\ln(x+1) + 1\right) - 1[/mm]
Nun löst man die Klammern auf und übrig bleibt:
[mm]\gdw G'(x) = 2*\ln(x) - ln(x+1)[/mm]
Nun wende Logarithmus-Gesetze an!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Shire |
Hallo Stefan,
soweit kann ich folgen - danke :)
Nachdem du vereinfacht hast, erhältst du:
$ [mm] \gdw [/mm] G'(x) = [mm] \left(2\cdot{}\ln(x) + 2\right) [/mm] - [mm] \left(\ln(x+1) + 1\right) [/mm] - 1 $
Und im folgenden Schritt: $ [mm] \gdw [/mm] G'(x) = [mm] 2\cdot{}\ln(x) [/mm] - ln(x+1) $
Aber wieso fällt im ersten Ausdruck plötzlich die +2 weg? Wenn sie nicht wegfallen würde, dann täte die Anwendung der Log.-Gesetze das Ergbenis [mm] ln\bruch{x^{2}+2}{x+1} [/mm] ergeben, was ja falsch wäre.
dit: Args, alle Klarheiten beseitigt...Ich hab fälschlicherweise -(...+1)-1 zu 0 zusammengefasst obwohl ich ein Vorzeichenwechsel durch das - vorm 2. Ausdruck bedingt, habe. Anfängerfehler -.-
Danke für die schnelle Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Shire |
Der zweite Teil der Frage lautet "berechnen Sie das Integral $ [mm] \integral_{1}^{3}{g(x) dx}. [/mm] $
Also würde das Integral wie folgt lauten: [mm] \integral_{1}^{3}{ln\bruch {x^{2}}{x+1} dx}
[/mm]
Wie berechne ich so ein Integral?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast doch die Stammfunktion schon gegeben, das musst du nur noch durch Ableiten von G(x) zeigen, dass da g(x) rauskommt. Wenn du dann das bestimmte Integral lösen sollst, nimmst du dir den Hauptsatz der Integralrechnung her, der da aussagte: Sei F(x) die Stammfunktion zu f(x), also F'(x)=f(x). Dann gilt:
[mm] $\int_{x_1}^{x_2}f(x) dx=F(x_2)-F(x_1)$
[/mm]
Jetzt bist du dran.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Shire |
Es fällt mir wie Schuppen aus den Haaren ^.^
Danke euch allen, langsam beginne ich durchzusteigen :)
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