www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Nachweis korrekt aufschreiben
Nachweis korrekt aufschreiben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nachweis korrekt aufschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:49 So 27.12.2009
Autor: Teufel

Hi!

Wenn ich z.B. nachweisen soll, ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{[\bruch{n-1}{3}]}}{n} [/mm] konvergiert, wie kann ich das am besten aufschreiben?

Dass es konvergiert, ist klar (z.B. wegen dem Dirichletkriterium, das wir aber nicht gehabt haben), aber zum Nachweis kann ich nur auf die bekannten Kriterien zurückgreifen: Majoranten-, Minoranten-, Leibniz-, Wurzel- und Quotientenkriterium.

Am meisten erinnert einen das ja an das Leibnizkriterium, aber dennoch ist das mit der Gaußlammer wieder etwas anderes. Eine vernünftige Majorisierung würde mir auch nicht einfallen.
Oder sollte ich dann einen langen Weg gehen, z.B. indem Teilfolgen der Partialsumme der Reihe betrachte und zeige, dass diese alle konvergieren?

Danke.

[anon] Teufel

        
Bezug
Nachweis korrekt aufschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:44 So 27.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi!
>  
> Wenn ich z.B. nachweisen soll, ob
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{[\bruch{n-1}{3}]}}{n}[/mm]
> konvergiert, wie kann ich das am besten aufschreiben?
>  
> Dass es konvergiert, ist klar (z.B. wegen dem
> Dirichletkriterium, das wir aber nicht gehabt haben), aber
> zum Nachweis kann ich nur auf die bekannten Kriterien
> zurückgreifen: Majoranten-, Minoranten-, Leibniz-, Wurzel-
> und Quotientenkriterium.
>  
> Am meisten erinnert einen das ja an das Leibnizkriterium,
> aber dennoch ist das mit der Gaußlammer wieder etwas
> anderes. Eine vernünftige Majorisierung würde mir auch
> nicht einfallen.
>  Oder sollte ich dann einen langen Weg gehen, z.B. indem
> Teilfolgen der Partialsumme der Reihe betrachte und zeige,
> dass diese alle konvergieren?
>  
> Danke.
>  
> [anon] Teufel


Guten Tag !

du kannst dir doch die Folge [mm] (e_n) [/mm] der Exponenten [mm] e_n=\left\lfloor\bruch{n-1}{3}\right\rfloor [/mm]
sowie die Vorzeichen der entstehenden Zähler [mm] z_n=(-1)^{e_n} [/mm] angucken.
Es ist ja stets [mm] z_n=+1 [/mm] oder [mm] z_n=-1 [/mm] . Dann lässt sich die
Reihe bequem als eine Leibnizreihe oder als eine Summe
von solchen darstellen.

LG    Al


Bezug
                
Bezug
Nachweis korrekt aufschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:55 So 27.12.2009
Autor: Teufel

Hi!

Und danke erstmal.

Da hast du natürlich Recht.

Also [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9}---+++... [/mm]

[mm] (\bruch{1}{1}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{7}+-+-...)+(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{5}+\bruch{1}{8}+-+-...)+(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{9}+-+-...) [/mm]

Die 3 "großen" Summanden kann man dann wieder eben als Summe schreiben und die konvergieren alle nach Herrn Leibniz, daher auch die Ursprungssumme. Denn wenn die Ursprungssumme divergieren würde, müsste wenigstens eine alternierende Reihe divergieren.

[anon] Teufel

Bezug
                        
Bezug
Nachweis korrekt aufschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 So 27.12.2009
Autor: andreas

hallo,

man sollte hierbei allerdings noch begründen, warum man so umordnen darf, ohne dass sich das konvergenzverhalten ändert, siehe []riemannscher umordnungssatz.

grüße
andreas

Bezug
                                
Bezug
Nachweis korrekt aufschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 So 27.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> hallo,
>  
> man sollte hierbei allerdings noch begründen, warum man so
> umordnen darf, ohne dass sich das konvergenzverhalten
> ändert, siehe
> []riemannscher umordnungssatz.
>  
> grüße
>  andreas


Um diese theoretische Komplikation zu vermeiden, kann
man aus der ursprünglichen Reihe zuerst eine neue machen,
indem man immer je 3 Summanden zu einem zusammen-
fasst:

   $ [mm] \underbrace{\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}\right)}_{t_1}-\underbrace{\left(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}\right)}_{t_2}+\underbrace{\left(\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{9}\right) }_{t_3}-\,.....\,+\,..... [/mm] $

und zeigt, dass die [mm] t_i [/mm] in dieser alternierenden Reihe eine
monoton fallende Nullfolge bilden.

LG    Al

Bezug
                                        
Bezug
Nachweis korrekt aufschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:56 So 27.12.2009
Autor: Teufel

Hi!

Oh ja, das ist super und man muss überhaupt nicht weit ausholen, um die Konvergenz nachzuweisen, danke!

Auch danke an dich, andreas!
Hast Recht, zur Umordnung müsste ich noch etwas schreiben.

[anon]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]