Nachweis von Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 So 19.09.2010 | | Autor: | Caligula |
| Aufgabe | | Die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(ln(\bruch{k-1}{k}) +ln(\bruch{k+1}{k})) [/mm] konvergiert nicht? |
Die Musterlösung sieht folgendermaßen aus:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(ln(\bruch{k-1}{k}) +ln(\bruch{k+1}{k})) [/mm] = [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(ln(k-1)-ln(k)+ln(k+1)-ln(k)) [/mm] = [mm] ln(1)-ln(2)+ln(\bruch{n+1}{n}) \to ln(\bruch{1}{2})
[/mm]
somit ist die Aussage falsch.
Meine Frage bezieht sich auf den zweiten Umformmungsschritt, indem das Summenzeichen verschwindet. Ich würde gerne wissen was er dort genau macht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine Summe ist eine Teleskopsumme. Allerdings hast du es auch nicht sonderlich ordentlich aufgeschrieben.
> $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(ln(\bruch{k-1}{k}) +ln(\bruch{k+1}{k})) [/mm] $ =
$ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(ln(k-1)-ln(k)+ln(k+1)-ln(k)) [/mm] $ Teleskopsumme
Wo kommt das n her?
= $ [mm] ln(1)-ln(2)+ln(\bruch{n+1}{n}) \to ln(\bruch{1}{2}) [/mm] $
Da fehlt mindestens einmal [mm] $\lim_{n\to\infty}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 19.09.2010 | | Autor: | Caligula |
Genau so stand es in der Musterlösung. Ich weis nicht wo das n herkommt. Das ist sogar Teil meiner Frage.
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Hallo,
Stelle Fragen bitte als Fragen, nicht als Mitteilungen.
> Genau so stand es in der Musterlösung.
Dann ist sie unsinnig!
> Ich weis nicht wo
> das n herkommt. Das ist sogar Teil meiner Frage.
Nun, es ist [mm]\sum\limits_{k=2}^{\infty}a_k \ = \ \lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=2}^{n}a_k}_{=:S_n}[/mm]
Also (im Falle der Konvergenz) ist der Reihenwert als Grenzwert der Partialsummen(folge) definiert.
In der Lösung muss dann in der bemängelten Umformung stehen:
[mm]\ldots=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=2}^{n}\left[\ln(k-1)-\ln(k)+\ln(k+1)-\ln(k)\right][/mm]
Nun ist diese n-te Partialsumme eine schöne Teleskopsumme, in der sich fast alle Summanden wegheben (schreib's dir mal ausführlich hin)
Es bleibt: [mm]\ln(1)-\ln(2)+\ln(n+1)-\ln(n)[/mm]
Bzw. in der oben geschriebenen Form (hinten [mm]\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)[/mm]
Davon den [mm]\lim\limits_{n\to\infty}[/mm] berechnen, bleiben vorne die beiden Summanden (wobei der erste eigentlich auch verschwindet), das hintere Biest strebt gegen [mm]\ln(1)=0[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\text{bla} \ = \ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=2}^{n}\text{bla} \ = \ -\ln(2) \ = \ \ln\left(\frac{1}{2}\right)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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