Nachweis von Normen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
ich soll am Montag an der Tafel nachweisen, dass die Maximumsnorm und die 1-Norm "Normen" sind. Zwar wird das nicht bewertet, jedoch wollte ich mal nachfragen ob meine Lösung so in Ordnung ist:
1-Norm:
[mm] ||x||_{1}= \summe_{i=1}^{n}|x_{i}| [/mm] ist Norm denn,
a) [mm] ||x_{i}||_1 [/mm] > 0 (wegen Betrag)
b) [mm] ||\lambda [/mm] x [mm] ||_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} |\lambda x_i| [/mm] = [mm] |\lambda| \summe_{i=1}^{n}|x_{i}| [/mm] = [mm] |\lambda| ||x||_1
[/mm]
c) [mm] ||x+y||_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i} [/mm] + [mm] y_{i}| \le \summe_{i=1}^{n} |x_i| [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} |y_i| [/mm] = [mm] ||x||_1 +||y||_1
[/mm]
Maximumsnorm:
[mm] ||x||_\infty [/mm] = max [mm] |x_i| [/mm] (für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n) ist Norm:
a) [mm] ||x||_\infty [/mm] = max [mm] |x_i| [/mm] > 0 (wegen Betrag)
b) [mm] ||\lambda x||_\infty [/mm] = max [mm] |\lambda x_i| [/mm] = [mm] |\lambda| [/mm] max [mm] |x_i|=|\lambda| ||x||_\infty
[/mm]
c) [mm] ||x+y||_\infty [/mm] = max [mm] |x_i [/mm] + [mm] y_i| [/mm] = [mm] |x_k [/mm] + [mm] y_k| \le |x_k| [/mm] + [mm] |y_k| \le [/mm] max [mm] |x_i| [/mm] + max [mm] |y_i| [/mm] = [mm] ||x||_\infty [/mm] + [mm] ||y||_\infty
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Nam |
Du hast in beiden Fällen eine Eigenschaft der Norm vergessen:
[mm]\forall x \in X: ||x|| = 0 \gdw x=0[/mm]
Bei 2.c bist du wohl mit dem Formeleditor etwas durcheinander gekommen - das könntest du noch etwas sauberer aufschreiben. Aber ansonsten fällt mir nichts auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 01.05.2005 | | Autor: | Pollux |
Nein, die Eigenschaften sind vollkommen. Jedenfalls nach meinem Skript. Ich denke, dass sich diejenige, die du genannt hast, aus den anderen herleiten lässt. Aber der Rest ist doch ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 01.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ist enorm wichtig, dass 0 die Norm=0 hat !
Wie auch immer eure Definition ist - bei a) fehlt dann dass x ungleich Null ist, denn dein a) sagt ja, dass jedes x eine Norm größer als 0 hat.
Das kann dann natürlich nur für x ungleich 0 stimmen.
Aber der Rest sieht schon richtig aus, ja.
viele Grüße
DaMenge
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