Nachweis von spumpfwinklichkei < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Egon |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1| −2 | 2) und B(−1| 2 | 0) , die
Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -10 \\ 5} [/mm] +t [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] mit t ∈ R gegeben. Ct sei ein beliebiger Punkt auf der Geraden g.
Die Gerade durch die Punkte A und B werde h genannt.
Zeigen Sie, dass die Geraden g und h parallel verlaufen, jedoch nicht identisch sind.
Ermitteln Sie, für welche reellen Zahlen t die Dreiecke ABCt bei B einen stumpfen
Winkel haben.
Beweisen Sie, dass alle Dreiecke ABCt den gleichen Flächeninhalt besitzen, und berechnen
Sie diesen.
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Hallo,
der erste Teil der Aufgabe (Parallelität zeigen und zeigen, dass g und h nicht identisch sind) war kein Problem.
Nur beim zweiten Teil (stumpfwinkligkeit nachweisen und parameter angeben) und beim dritten Teil (Flächeninhalt) der Aufgabe habe ich meine Probleme. Da ich nicht verstehe, warum keine Punt Ct mit Parametern vorgegeben ist (z.B. in der Form Ct(2;4+t;3)). Ich hatte die Idee, eine Hilfsebene G : -x+2y-z = 5 aufzustellen, und dann g einsetzen, wobei ich einen Punkt B'(-5; 0; 0) rausbekomme, welcher mit dem Punkt B eine Gerade bilden muss, die rechtw. zu h ist. Was mich jedoch bei dem Stumpfwinklichkeitsproblem und der Such nach dem Parameter t kein Stück weiter brachte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm]C_t[/mm] soll wohl einfach der Punkt der Geraden [mm]g[/mm] mit dem Ortsvektor
[mm]\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix} + \, t \, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -t \\ -10 + 2t \\ 5 - t \end{pmatrix}[/mm]
zum Parameterwert [mm]t[/mm] sein, also
[mm]C_t \left( \, -t \ | \, -10 + 2t \, | \ 5 - t \, \right)[/mm]
Und stumpfwinklig bei [mm]B[/mm] ist das Dreieck, wenn das Skalarprodukt
[mm]\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC_t}[/mm]
negativ ist. Achte hier auf die Richtung der Vektoren. Beide müssen [mm]B[/mm] als Startpunkt haben.
Daß alle Dreiecke flächengleich sind, kann ohne Rechnung begründet werden. Und wenn du schon die [mm]t[/mm] bestimmen mußt, für die der Winkel bei [mm]B[/mm] stumpf ist, kannst du in einem Aufwasch auch gleich das [mm]t[/mm] bestimmen, für welches der Winkel ein rechter ist. Denn dann ist es zum gesuchten Flächeninhalt nur noch ein kleiner Schritt.
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