Nachweisen von rekursive Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert, indem Sie Monotonie und Beschränktheit nachweisen.
[mm] a_2 = \left( \bruch{1}{4} \right a_n+1 = a^2_n[/mm]
Wenn die Folge nicht dargestellt wird siehe Bild. |
Hallo,
das ist die erste Aufgabe dieser Art für mich, zu erste habe ich die Monotonie bewiesen, sofern ich das richtig gemacht habe. Allerdings hänge ich jetzt noch bei der Beschränktheit. Bitte um Rat und Verbesserung.
lg Paul.
Meine Rechnung für Monotonie ( Bild 1 )
Meine Ansatz für Beschränktheit ( Bild 2 )
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Do 14.11.2013 | | Autor: | gauschling |
Lösungsansatz für Beschränktheit dachte ich
[mm] \left( \bruch{1}{4} \right) [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] \left( \bruch{1}{2} \right)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 14.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo gauschling!
Der letzte Schluss in Deinem Nachweis für die Monotonie ist nicht korrekt.
Wieso schließt Du von der Nullstelle des Polynoms auf die Behauptung?
Aus der Nullstelle erhältst Du:
[mm] $\left(a_n-\bruch{1}{2}\right)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Und hier kann man nun wirklich sagen, dass diese Aussage wahr ist, da ein Quadrat nie negativ wird.
Gruß
Loddar
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Hallo erstmal aller besten Dank für deine Antwort! Hat mich gefreut, dass mir geholfen wird.
Ich habe den Lösungsansatz aus dem Skirpt meines Professors genommen, allerdings ist mir nicht ganz klar was ich damit bewirke.
Ich dachte damit fasse ich sozusagen die linke Seite sprich [mm] a^2_n + \left( \bruch{1}{4} \right) - a_n > 0 [/mm] zusammen und bekomme so eine wahre Aussage.
Habe ich damit nur [mm] a_1 [/mm] festgelegt ?
Entschuldige falls die frage etwas dümmlich ist, ich bin mir bei dem Thema noch unsicher.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo erstmal aller besten Dank für deine Antwort! Hat
> mich gefreut, dass mir geholfen wird.
>
> Ich habe den Lösungsansatz aus dem Skirpt meines
> Professors genommen, allerdings ist mir nicht ganz klar was
> ich damit bewirke.
> Ich dachte damit fasse ich sozusagen die linke Seite
> sprich [mm]a^2_n + \left( \bruch{1}{4} \right) - a_n > 0[/mm]
> zusammen und bekomme so eine wahre Aussage.
naja, da muss man immer vorsichtig mit der Logik sein. Wenn Du zeigen
willst, dass eine Aussage [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, so ist es kein Beweis, wenn
Du sowas machst:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
und [mm] $B\,$ [/mm] ist wahr. Du musst - umgekehrt - mithilfe des Wissens, dass eine
Aussage [mm] $B\,$ [/mm] als wahr bekannt ist, zeigen, dass dann zudem
$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
gilt. (Dazu habe ich mal einen Artikel verfasst, siehe hier (klick!)!)
Zu Deiner Aufgabe:
Zu zeigen ist doch, dass die Folge - streng - monoton wachsend ist (Deine Beh.).
D.h., Du willst
[mm] $a_{n+1}$ $>\,$ $a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
begründen.
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] hast Du nun gerechnet
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$
[/mm]
[mm] $\iff$ ${a_n}^2+\frac{1}{4} [/mm] > [mm] a_n$ [/mm] (für den Beweis ist hier später nur [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] wichtig!)
[mm] $\iff$ $\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Du hättest es übrigens sehr viel einfacher, wenn Du nicht "streng" mitgenommen
hättest, denn die obigen Umformungen zeigen schon, dass [mm] ${(a_n)}_{n \in \IN}$
[/mm]
sicher monoton wachsend sein muss. Damit Du aber mal siehst, wie man
"in die richtige Richtung" folgert (wie gesagt: man muss aus einer wahren
Aussage die Behauptung folgern - wenn Du aus der Behauptung eine wahre
Aussage folgerst, so bringt Dir das nicht wirklich was...), und vielleicht,
damit auch klarer wird, was ich meine, dass man von den [mm] $\iff$ [/mm] oben nur die
[mm] $\Longleftarrow$ [/mm] braucht, schreibe ich Dir mal den Beweis für "monoton
wachsend" auf (das würde ja auch reichen; aber rein zur Übung kannst
Du dann mal probieren, danach "streng(!) monoton wachsend" zu beweisen):
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig. Da Quadrate reeller Zahlen stets [mm] $\ge\;0$ [/mm] sind, ist mit
Sicherheit die Ungleichung
[mm] $(a_n-\tfrac{1}{2})^2 \ge [/mm] 0$
wahr. Weiterhin folgt:
[mm] $(a_n-\tfrac{1}{2})^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Longrightarrow$ ${a_n}^2-a_n+\frac{1}{4}\;\ge\;0$ [/mm] (wg. 2. bin. Formel)
[mm] $\Longrightarrow$ ${a_n}^2+\frac{1}{4}\;\ge\;a_n$ [/mm] (man addiere [mm] $a_n$ [/mm] auf beiden Seiten)
[mm] $\Longrightarrow$ $a_{n+1}\;\ge\;a_n$ [/mm] (nach Def. von [mm] $a_{n+1}$).
[/mm]
Da $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig war, folgt, dass
[mm] $a_{n+1}\;\ge\;a_n$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Also ist [mm] ${(a_n)}_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend.
Wie gesagt: Der Beweis, dass [mm] ${(a_n)}_{n \in \IN}$ [/mm] streng monoton wachsend
ist, den erspare ich mir hier. Man könnte es nun leicht (analog!)
folgern, wenn man zuerst nachweist, dass
[mm] $a_n [/mm] < [mm] 1/2\,$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt (Beachte, dass obiger Beweis insbesondere zeigt, dass
[mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 14.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Mit der nachgewiesenen Monotonie kannst Du den Nachweis der Beschränktheit auf [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] beschränken.
Hierbei ist es sehr schnell mit einer Induktion getan.
Gruß
Loddar
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zur Beschränktheit ,
genau, da ich mir gedacht habe, dass [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] die oberste Schranke oder Grenze seien muss, habe ich die Behauptung aufgestellt, dass
[mm] \left( \bruch{1}{4} \right) < a_n < \left( \bruch{1}{4} \right) [/mm]
gilt.
jetzt muss ich theoretisch nur noch mit rechen operationen [mm]a_n [/mm]zu [mm]a_n +1 [/mm] formen ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Do 14.11.2013 | | Autor: | gauschling |
ich meinte natürlich t $ [mm] \left( \bruch{1}{4} \right) [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] $
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Hallo gauschling,
denk mal über Loddars Tipp nach, Dich nur noch mit [mm] a_n<\tfrac{1}{2} [/mm] zu befassen. Mehr ist hier nicht nötig.
> zur Beschränktheit ,
> genau, da ich mir gedacht habe, dass [mm]\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
> die oberste Schranke oder Grenze seien muss, habe ich die
> Behauptung aufgestellt, dass
>
> [mm]\left( \bruch{1}{4} \right) < a_n < \left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
(Zitat korrigiert)
> gilt.
> jetzt muss ich theoretisch nur noch mit rechen operationen
> [mm]a_n [/mm]zu [mm]a_n +1[/mm] formen ?
Hm. Wahrscheinlich ist das nur ein Eingabefehler, sonst wäre es versuchte mathematische Vergewaltigung. Ich nehme an, Du meinst dieses:
[mm] a_n<\bruch{1}{2}\quad\Rightarrow\quad a_{\blue{n+1}}<\bruch{1}{2}
[/mm]
Ja, genau das wäre der Induktionsschritt bei der schon vorgeschlagenen Induktion.
Indices (oder Exponenten), die mehr als ein Zeichen umfassen, gehören in LaTeX in geschweifte Klammern, also so: a_{n+1} ergibt [mm] a_{n+1}.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zur Beschränktheit ,
> genau, da ich mir gedacht habe, dass [mm]\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
> die oberste Schranke oder Grenze seien muss, habe ich die
nur mal zur Sprache:
1.) Was sollte eine "oberste Schranke" sein? Vom Sinn her würde man vielleicht
an "eine maximale obere Schranke" denken.
2.) Richtiger Sprachgebrauch: [mm] $1/2\,$ [/mm] ist (hier) tatsächlich EINE obere
Schranke für [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] (es gibt hier unendlich viele obere Schranken,
warum?)
3.) Es gibt durchaus "ausgezeichnete" obere Schranken. Du könntest hier
'vermuten':
[mm] $1/2\,$ [/mm] ist "die kleinste" obere Schranke für [mm] ${(a_n)}_n.$ [/mm] (Was dann aber eigentlich
eines Beweises bedarf - also ein Beweis, dass es keine kleinere geben kann...)
Die Vermutung stimmt übrigens:
Aus der Konvergenz von [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] folgt mit [mm] $g:=\lim a_n$ [/mm] dann wegen
[mm] $a_{n+1}={a_n}^2+1/4$
[/mm]
sofort (bei $n [mm] \to \infty$)
[/mm]
[mm] $g=g^2+\frac{1}{4}\,.$
[/mm]
Das ist gleichwertig mit
[mm] $(g-\tfrac{1}{2})^2=0\,,$
[/mm]
also [mm] $g=1/2\,.$
[/mm]
Damit kann man begründen, dass in der Tat [mm] $1/2\,$ [/mm] "die kleinste obere Schranke"
der Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] sein muss!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
(Edit: Quatsch eliminiert!)
> Hallo!
>
>
> Mit der nachgewiesenen Monotonie kannst Du den Nachweis der
> Beschränktheit auf [mm]a_n \ \le \ \bruch{1}{2}[/mm] beschränken.
den Satz verstehe ich vom Sinn her nicht.
> Hierbei ist es sehr schnell mit einer Induktion getan.
Nebenbei: Er sollte
$0 [mm] \le a_n [/mm] < 1/2$
beweisen, wenn er raushaben will, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] streng(!) wächst.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel, großes Dankeschön für deine super ausführliche Antworten. Die haben eine Auszeichnung verdient!
Allerdings schreibst du, dasss ich $ 0 [mm] \le a_n [/mm] < 1/2 $ zeigen soll, jetzt ist meine frage, da die Folge mit [mm] a_1 = \left( \bruch{1}{4} \right)[/mm] beginnt müsste ich doch das hier zeigen oder nicht ?
$ [mm] \left( \bruch{1}{4} \right) [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel, großes Dankeschön für deine super
> ausführliche Antworten. Die haben eine Auszeichnung
> verdient!
>
> Allerdings schreibst du, dasss ich [mm]0 \le a_n < 1/2[/mm] zeigen
> soll, jetzt ist meine frage, da die Folge mit [mm]a_1 = \left( \bruch{1}{4} \right)[/mm]
> beginnt müsste ich doch das hier zeigen oder nicht ?
>
> [mm]\left( \bruch{1}{4} \right) < a_n < \left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
nein, das müßtest Du nicht, und das stimmt ja auch nicht (für [mm] $a_1$ [/mm] ist das falsch).
Du "kannst" zeigen
$1/4 [mm] \le a_n [/mm] < 1/2$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Damit hast Du insbesondere auch
$0 [mm] \le a_n [/mm] < 1/2$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
bewiesen. (Ist Dir das klar?)
Und letzteres ist hinreichend für die Aussage, dass [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] streng wächst.
Wenn Du es genau wissen willst:
Da für
[mm] $a_{n+1}={a_n}^2+1/4$
[/mm]
gilt (eigentlich könnte ich im Folgenden in jeder Zeile "für alle [mm] $n\,$" [/mm] mitschleppen)
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$
[/mm]
[mm] $\iff (a_n-\tfrac{1}{2})^2 [/mm] > 0$
[mm] $\iff |a_n [/mm] -1/2| > 0$
[mm] $\iff$ $a_n \not=1/2\,,$
[/mm]
erkennst Du, dass für die Gültigkeit der Aussage
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
die Wahrheit der Aussage
[mm] $a_n\not=1/2$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
sowohl notwendig als auch hinreichend ist.
Da die Wahrheit der letzten Aussage also insbesondere hinreichend für
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
ist, reicht es halt, zu zeigen, dass in der Tat
[mm] $a_n \not=1/2$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
gilt.
Wenn Du nun beweist, dass
$1/4 [mm] \le a_n [/mm] < 1/2$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
gilt, so folgt daraus insbesondere
[mm] $a_n \not=1/2$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
und damit die zu beweisende Aussage.
Gruß,
Marcel
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Hallo, ich möchte diese Aufgabe gern zuende führen allerdings hänge ich bei dem letzten Schritt. Den Induktionsbeweis, ich bekomme es einfach nicht gezeigt dass $ [mm] a_n<\bruch{1}{2}\quad\Rightarrow\quad a_{\blue{n+1}}<\bruch{1}{2} [/mm] $ gilt.
Die Ausgangsbehauptung ist ja nach wie vor $ [mm] \left( \bruch{1}{4} \right) [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] $
allerdings bekomme ich es mir meiner äquivalentsumformung einfach nicht hin es zu zeigen.
kann mir jemand einen Tipp geben
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Hallo nochmal,
> Hallo, ich möchte diese Aufgabe gern zuende führen
> allerdings hänge ich bei dem letzten Schritt. Den
> Induktionsbeweis, ich bekomme es einfach nicht gezeigt dass
> [mm]a_n<\bruch{1}{2}\quad\Rightarrow\quad a_{\blue{n+1}}<\bruch{1}{2}[/mm]
> gilt.
>
> Die Ausgangsbehauptung ist ja nach wie vor [mm]\left( \bruch{1}{4} \right) < a_n < \left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
>
> allerdings bekomme ich es mir meiner äquivalentsumformung
> einfach nicht hin es zu zeigen.
>
> kann mir jemand einen Tipp geben
Klar.
Nimm mal Deine Rekursionsformel zur Hand.
Wie ist [mm] a_{n+1} [/mm] definiert?
Nun weißt Du, dass [mm] a_n<\tfrac{1}{2} [/mm] ist, das ist ja Induktionsvoraussetzung.
Was kannst Du dann über [mm] a_n^2 [/mm] aussagen?
Grüße
reverend
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