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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Näherung
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Näherung: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Fr 07.11.2008
Autor: ohlala

Aufgabe
Suche ohne Taschenrechner eine Näherung des Wertes [mm] f(x_{0}), [/mm] indem du f(x) in einer geeingneten Stelle linearisiert.
[mm] a)f(x)=\bruch{x-1} {x^2+1} [/mm]  
    
     [mm] x_{0}=0.95 [/mm]

[mm] b)f(x)=\bruch{1} {\wurzel[4]{x}} [/mm]

    [mm] x_{0}=17 [/mm]

Kann mir jemand sagen ob meine ergebnisse richtig sind, wenn nicht, bitte gleich eine erklärung zur richtigen rechnung dazu.
danke

Ergebnisse:
a) =0,552x-0,55
b) = [mm] -2*10^{-4} [/mm] x +0,5034

        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Fr 07.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Suche ohne Taschenrechner eine Näherung des Wertes
> [mm]f(x_{0}),[/mm] indem du f(x) in einer geeingneten Stelle
> linearisiert.
>  [mm]a)f(x)=\bruch{x-1} {x^2+1}[/mm]  
>
> [mm]x_{0}=0.95[/mm]
>  
> [mm]b)f(x)=\bruch{1} {\wurzel[4]{x}}[/mm]
>
> [mm]x_{0}=17[/mm]
>  Kann mir jemand sagen ob meine ergebnisse richtig sind,
> wenn nicht, bitte gleich eine erklärung zur richtigen
> rechnung dazu.
>  danke
>  
> Ergebnisse:
>  a) =0,552x-0,55
>  b) = [mm]-2*10^{-4}[/mm] x +0,5034


Mit diesen Ergebnissen kann ich nichts anfangen.
Gesucht sind ja konkrete Zahlenwerte, nicht lineare Funktionen.
Jeweils eine lineare Funktion wird aber eingesetzt, um die
gegebene Funktion zu approximieren.

Du musst also folgendermassen vorgehen:

1.) Wähle eine Zahl  [mm] x_1 [/mm]  in der Nähe der gegebenen
     Zahl [mm] x_0, [/mm] für welche du den Wert [mm] y_1=f(x_1) [/mm] im Kopf
     ausrechnen kannst.
2.) Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) und die
     Tangentensteigung [mm] f'(x_1) [/mm] und stelle die Tangenten-
     Gleichung auf:  [mm] y_t(x)=....... [/mm]
3.) Nimm als approximativen Wert für [mm] f(x_0) [/mm] den Wert
     [mm] y_t(x_0). [/mm]

LG

Bezug
                
Bezug
Näherung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Fr 07.11.2008
Autor: ohlala

Aufgabe
Du musst also folgendermassen vorgehen:

1.) Wähle eine Zahl    in der Nähe der gegebenen
     Zahl  für welche du den Wert  im Kopf
     ausrechnen kannst.
2.) Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) und die
     Tangentensteigung  und stelle die Tangenten-
     Gleichung auf:  
3.) Nimm als approximativen Wert für  den Wert
      

Wie stelle ich die Tangentengleichung auf?

Bezug
                        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Fr 07.11.2008
Autor: leduart

Hallo
[mm] y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) [/mm]
oder Dei gleichung der Geraden durch [mm] (x_0,f(x_0)) [/mm] mit der Steigung [mm] f'(x_0) [/mm]
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Näherung: Rückfrage2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Fr 07.11.2008
Autor: ohlala

Aufgabe
Aufgabe 2

Sind diese ergebnisse richtig?:
a) 0,55x-0,55
[mm] b)-2*10^{-4} [/mm] x +0,5

Bezug
                                        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Fr 07.11.2008
Autor: leduart

Hallo
Ich kann das nicht sehen! aber vielleicht mit ner Begruendung sehen, was deine Idee hinter den Gleichungen ist.
a) war die Frage ein Wert,
b) wie kommst du auf die Gleichung?
c) bist du der Anweisung gefolgt, und wenn ja, was hast du fuer [mm] x_0 [/mm] gewaehlt?
es ist doch recht sinnlos, nach der Antwort nicht darauf einzugehen, sondern die Frage zu wiederholen.
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Näherung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Fr 07.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi

nein, sind sie nicht

Bezug
                                
Bezug
Näherung: Lösung zu a)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Fr 07.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  [mm]y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)[/mm]
>  oder Dei gleichung der Geraden durch [mm](x_0,f(x_0))[/mm] mit der
> Steigung [mm]f'(x_0)[/mm]
>  Gruss leduart


Mit den Bezeichnungen, die wir vorher eingeführt
haben, muss die Gleichung so lauten:

      [mm]y_t(x)=f(x_1)+f'(x_1)*(x-x_1)[/mm]

Wir verwenden ja die Tangente an der Stelle x1 ,
um dann einen Näherungswert $\ [mm] y_t(x_0)\approx f(x_0)$ [/mm]  zu
berechnen.

Für das erste Beispiel nimmt man natürlich [mm] x_1=1. [/mm]
An dieser Stelle ist [mm] f(x_1)=0 [/mm] und [mm] f'(x_1)=\bruch{1}{2} [/mm]
Die Tangentengleichung ist:

      [mm] y_t=f(x_1)+f'(x_1)*(x-x_1)=0+\bruch{1}{2}*(x-1)=\bruch{x-1}{2} [/mm]

Der Näherungswert für [mm] f(x_0)=f(0.95) [/mm] wird damit

     [mm] y_t(0.95)=\bruch{0.95-1}{2}=-0.025 [/mm]

(der exakte Wert ist f(0.95)=-0.02628...)

Gruß   Al

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