Näherungsformel bestimmen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 12.12.2009 | | Autor: | az118 |
| Aufgabe | Sei p das Taylor-Polynom 1. Grades einer reellen Funktion f an der Entwicklungsstelle x = x0.
a) Bestimmen Sie eine Näherungsformel für [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
durch Integration von p(x). |
Hallo,alsoich weiß echt nicht wie ich das jetzt nun machen soll.
Das Taylor-Polynom würde ja so aussehen: p(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0) oder?
Aber wie bringt mich das nun weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Sa 12.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo az118,
tu doch einfach das, was in der Aufgabe steht, berechne: [mm] \integral_{a}^{b}{p(x) dx}.
[/mm]
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 12.12.2009 | | Autor: | az118 |
aber ich habe ja kein p(x) ?
das Integral wäre ja sonst: F(b)-F(a) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 12.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo az118,
wieso, Du hast p(x) doch selber in Deiner Frage hingeschrieben. Möglicherweise wundert Dich die große Allgemeinheit der Aufgabe, aber es ist doch nicht mehr verlangt, als f(x) mit dem Taylorpolymon p(x) 1. Ordnung anzunähern und dann das Integral wiederum näherungsweise aus p(x) zu berechnen; dies geht, denn Du bildest ja die Stammfunktion eines Polynoms und nicht von f direkt. Wie gut diese Näherung ist hängt natürlich von vielen Faktoren ab (Lage [mm] x_{0}, [/mm] a, b, Aussehen von f, ...); mehr gibt die Aufgabe bis dahin aber nicht her, denke ich.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 13.12.2009 | | Autor: | az118 |
Ok,also muss ich jetzt das Taylorpolynom integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 So 13.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja ,
und zwar das Taylor-Polynom 1. Grades
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 13.12.2009 | | Autor: | az118 |
Ok, das Polynom siht ja wie folgt aus: p(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)
da f(x0) und f'(x0) Zahlen sind würde das integrierte Polynom ja so aussehen [mm] \integral_{p(x) dx}=f(x0)*x+1/2*x^{2}*f'(x0) [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 13.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo.
nicht ganz; abgesehen, davon, dass Du p(x) dx an die falsche Stelle geschrieben hast, hast Du die Integralgrenzen vergessen und bei der Bildung der Stammfunktion das -x0 in der Klammer verloren.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 13.12.2009 | | Autor: | az118 |
das versteh ich jetzt nicht ganz mit dem verlorenen x0 in der Klammer?
Weiß da echt nicht weiter...steh wohl auf dem schlauch oder so
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
Es gilt ja [mm] f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}). [/mm] Daher der Ansatz:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\approx\integral_{a}^{b}{f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}) dx} [/mm] = [mm] f(x_{0})+f'(x_{0})\left(-x_{0}+\integral_{a}^{b}{x dx}\right).
[/mm]
Die Werte [mm] x_{0}, f(x_{0}) [/mm] und [mm] f'(x_{0}) [/mm] sind ja konstant.
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 13.12.2009 | | Autor: | az118 |
Ok, aber ist das Integral von f(x0) nicht f(x0)*x ???
f(x0) ist zwar ne konstante aber steht ja in einer Summe und nicht im Produkt? oder bin ich jetzt auf den falschen Gedanken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Ok, aber ist das Integral von f(x0) nicht f(x0)*x ???
> f(x0) ist zwar ne konstante aber steht ja in einer Summe
> und nicht im Produkt? oder bin ich jetzt auf den falschen
> Gedanken?
Integrale sind lineare Operatoren (auf dem Raum der integrierbaren Funktionen):
[mm] \integral_{a}^{b}{\left(\alpha*f(x)+\beta*g(x) \right) dx}=\alpha*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\beta*\integral_{a}^{b}{g(x) dx}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 So 13.12.2009 | | Autor: | az118 |
Ok,die Aufgabe muss ich mir noch mal richtig durch den Kopf gehen lassen. Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 13.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo az118,
nochmal ganz langsam:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \approx \integral_{a}^{b}{p(x) dx} =\integral_{a}^{b}{(f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})) dx}
[/mm]
= [mm] (f(x_{0})x [/mm] + [mm] f'(x_{0})\bruch{(x - x_{0})^{2}}{2})|^{b}_{a}
[/mm]
= usw. (b einsetzen, a einsetzen, subtrahieren ...)
Du hattest das [mm] x_{0} [/mm] in der Klammer [mm] (x-x_{0})^{2} [/mm] vergessen.
(Die Stammfunktion von [mm] f(x_{0}) [/mm] ist selbstverständlich [mm] f(x_{0})x [/mm] !!!)
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mo 14.12.2009 | | Autor: | az118 |
Ok danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 15.12.2009 | | Autor: | az118 |
Hallo, ich habe nochmal eine Frage zu der Aufgabe.Und zwar soll ich nun noch diese Nährungsformel für x0=a+b/2 interpretieren.
Ich habe das nun überall für x0 eingesetzt und rausbekommen =f(a+b/2)*(b-a) ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe nochmal eine Frage zu der Aufgabe.Und zwar
> soll ich nun noch diese Nährungsformel für x0=a+b/2
> interpretieren.
>
> Ich habe das nun überall für x0 eingesetzt und
> rausbekommen =f(a+b/2)*(b-a) ???
Dann hast Du
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\approx [/mm] f((a+b)/2)*(b-a)$
Das ist doch anschaulich:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \approx [/mm] Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen b-a und f((a+b)/2)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Di 15.12.2009 | | Autor: | az118 |
Ok,danke
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