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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Louis |
| Aufgabe | | Bestimme den Näherungswert der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^{k}} [/mm] für k>1, der von der Summe nicht mehr als [mm] 10^{-5} [/mm] abweicht. |
Ich habe bereits gezeigt, dass die Reihe konvergiert, imdem ich gezeigt habe, dass die Partialsummen durch [mm] \bruch{1}{1-2^{-k-1}} [/mm] beschränkt sind.
Doch ich weiß nicht, wie ich den Näherungswert bestimmen soll.
Kann mir dabei jemand helfen? Das wäre lieb!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Louis,
das ist eine echte Trickaufgabe. Ich nehme an, Du hast sie richtig abgeschrieben.
> Bestimme den Näherungswert der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^{k}}[/mm] für k>1, der von der
> Summe nicht mehr als [mm]10^{-5}[/mm] abweicht.
Was einem sofort durch den Kopf geht, ist aber eine andere Aufgabe:
> Bestimme den Näherungswert der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\red{\infty}}\bruch{1}{n^{\red{i}}}[/mm] für [mm] \red{i}>1, [/mm] der von der
> Summe nicht mehr als [mm]10^{-5}[/mm] abweicht.
...und das wäre sauschwer, wenn überhaupt allgemein lösbar.
> Ich habe bereits gezeigt, dass die Reihe konvergiert,
> imdem ich gezeigt habe, dass die Partialsummen durch
> [mm]\bruch{1}{1-2^{-k-1}}[/mm] beschränkt sind.
Das habe ich noch nicht einmal nachzuvollziehen versucht.
Die tatsächlich (?) zu untersuchende Reihe hat ja einen leicht zu berechnenden Wert. Allerdings macht die Aufgabe dann auch wenig Sinn.
Stimmt sie also? (s.u.)
lg
reverend
> Doch ich weiß nicht, wie ich den Näherungswert bestimmen
> soll.
PS: Hattet Ihr Fourierreihen? Dann wäre wohl auch die o.a. "Fehllesung" lösbar. Nimm die Reihe als Entwicklung um [mm] x_0=1, [/mm] versuche die dargestellte Funktion zu bestimmen und vor allem die Restgliedabschätzung durchzuführen.
> Kann mir dabei jemand helfen? Das wäre lieb!
Heute nacht aber nicht mehr... 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:45 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Tatsächlich, ich habe mich vertippt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{n}}
[/mm]
Macht es das jetzt leichter?
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Hallo Louis,
nein, das macht es nicht leichter, aber immerhin eindeutig.
Das Problem ist, dass man die Folgenglieder so schlecht abschätzen kann.
Jede Tabellenkalkulation zeigt Dir, dass Du schon bei N=5 die geforderte Genauigkeit erreicht hast. Die Reihe konvergiert unglaublich schnell, weil die Folgenglieder so rasant kleiner werden.
Offenbar gilt: [mm] \summe_{k=n+1}^\infty \bruch{1}{k^k}<\bruch{1}{n^n}
[/mm]
Wenn man das zeigen kann, ist auch N=5 leicht zu finden.
Nun kann man ja, unter Heranziehung der Vermutung, wie folgt abschätzen:
[mm] \summe_{k=n+1}^\infty \bruch{1}{k^k}=\bruch{1}{(n+1)^{n+1}}+\summe_{k=n+2}^\infty \bruch{1}{k^k}\ \blue{<}\ \bruch{1}{(n+1)^{n+1}}+\bruch{1}{(n+1)^{n+1}}=\bruch{2}{(n+1)^{n+1}}\ \blue{<}\ \bruch{1}{(n)^n}
[/mm]
Das hat allerdings ein Problem. Wenn dies mein Induktionsschritt wäre, dann müsste ich die Gültigkeit der Vermutung bereits bis [mm]n+2[/mm] gezeigt haben und hätte also nichts gewonnen.
Ich lasse Deine Frage mal halboffen. Vielleicht hat ja jemand eine Idee, die besser aufgeht.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Louis |
Hm, schwer schwer.
Hilft dir das weiter?
Schätzen Sie den Reihenrest [mm] r_k =\summe_{n=k+1}^{\infty} n^{-n} [/mm] mittels der für n [mm] \ge [/mm] k + 1 geltenden Ungleichung [mm] n^{n} \ge [/mm] (k + [mm] 1)^{n} [/mm] durch eine geometrische Reihe nach oben ab. Bestimmen Sie dann den Index so, daß die gefundene obere Schranke für [mm] r_k [/mm] kleiner wird als [mm] 10^{-5}.
[/mm]
Ist ein Tipp, mit dem ich aber auch nix anfangen kann.
Über Hilfe würde ich mich freuen.
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Hallo Louis,
schade, wenn Du damit nichts anfangen kannst. Der Tipp ist gut.
> Schätzen Sie den Reihenrest [mm]r_k =\summe_{n=k+1}^{\infty} n^{-n}[/mm]
> mittels der für n [mm]\ge[/mm] k + 1 geltenden Ungleichung
> [mm] n^{n} \ge(k+1)^{n} [/mm] durch eine geometrische Reihe nach oben ab.
"nach oben" heißt also: [mm] \summe\le\cdots
[/mm]
[mm] n^n\ge(k+1)^n\ \gdw\ \bruch{1}{n^n}\blue{\le}\bruch{1}{(k+1)^n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=k+1}^{\infty} n^{-n} \le \summe_{n=k+1}^\infty \bruch{1}{(k+1)^n}
[/mm]
...und da ist sie, die geometrische Reihe. Bedenke: k ist hier fest.
> Bestimmen Sie dann den Index so, daß die gefundene obere
> Schranke für [mm]r_k[/mm] kleiner wird als [mm]10^{-5}.[/mm]
>
> Ist ein Tipp, mit dem ich aber auch nix anfangen kann.
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen.
Jetzt Du.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 15.12.2009 | | Autor: | Louis |
Sieht gut aus, aber ich wüsste nicht, wie ich nun den Wert bestimme.
Muss ich 1,2,3,4,.... in die beiden letzten Gleichungen für n setzen und sie dann ausrechnen? was ist denn dann mein k?
Über weitere Hilfe würde ich mich freuen.
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Hallo Louis,
[mm] \summe_{n=k+1}^\infty \bruch{1}{(k+1)^n}=\summe_{j=0}^\infty \bruch{1}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{1}{(k+1)^j}=\bruch{1}{(k+1)^{k+1}}*\summe_{j=0}^\infty \bruch{1}{(k+1)^j}=\bruch{1}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{k+1}}=\bruch{1}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k+1}{k}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{k*(k+1)^k}
[/mm]
Hilft das nicht weiter?
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Louis |
Nicht wirklich, wie komme ich denn von dort auf [mm] 10^{-5}?
[/mm]
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Hallo nochmal,
na, Du suchst jetzt das kleinste k, für das der angegebene Term [mm] <10^{-5} [/mm] ist. Eine Umformung nach k ist allerdings nicht unmittelbar möglich. Evtl. hilft eine weitere Abschätzung, oder aber das sture Berechnung der ersten paar Werte für kleine k. Du weißt ja schon, wohin die Reise geht...
lg
rev
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