Natürliche Kubische Splines < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu Messpunkten auf dem Boden einer Werkshalle, hier gegeben durch die Wertepaare [(1/2,0) ; (2/1,5) ; (3/1,5) ; (4/1,5) ; (5/1) ; (6/1) ; (7/1) ; (8/1,5) ; (9/1,5) ; (10/1,5) ; (11/2)], soll eine möglichst (krümmungs-) glatte Kurve festgelegt werden. Dieser spur soll ein Transportfahrzeug folgen. Das Ziel ist daher eine Kurve mit möglichst geringer Abweicheung von der Verbindung mit Strecken sowie wenig "Lenkbewegung" (Dann sind höhere Geschwindigkeiten möglich).
Aufgabe A: Bestimme mit Hilfe von Derive das gesuchte Polynom 10. Grades.
Begründe die Güte der Näherung über das Polynom im Vergleich zum dargestellten Spline.
Aufgabe B:
Erläutere das Verfahren der Interpolation über kubische Splines.
Stelle die Interpolation über natürliche kubische Splines anhand der folgenden Situation dar:
Gesucht ist der Verlauf einer gekrümmten Schiene, die durch die Punkte
Q0 (-3;3), Q1 (0;-1) und Q2 (3;-3) gehen soll. |
Hallo erstmal,
Ich habe dieses Thema als Abiturprüfung bekommen und fnde absolut keinen Weg irgendwie auf eine Lösung zu kommen.
Das Problem ist, niemand kann mir irgendwie weiterhelfen ich war des öfteren in der Universität bei uns in der Gegend und da konnte man mir auch nicht weiterhelfen. Das Thema überschreitet bei weitem mein können, da ich Mathe- Grundkurs habe.
Meine Fragen:
Wie bilde ich den Polynom 10.Grades?
Was ist der Unterschied zwischen natürlichen kubischen Splines und kubischen Splines?
Kann mir jemand sagen wie ich zu rechnen habe, damit ich auf eine Lösung komme?
Wie funktioniert das alles? :(
und - Wie mache ich das mit Derive?
Ich würde mich super auf antworten freuen, da ich überhaupt keine Ahnung von dem Thema leider habe und ich überall schon hilfe suche.
Vielen Dank im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zu Messpunkten auf dem Boden einer Werkshalle, hier gegeben
> durch die Wertepaare [(1/2,0) ; (2/1,5) ; (3/1,5) ; (4/1,5)
> ; (5/1) ; (6/1) ; (7/1) ; (8/1,5) ; (9/1,5) ; (10/1,5) ;
> (11/2)], soll eine möglichst (krümmungs-) glatte Kurve
> festgelegt werden. Dieser spur soll ein Transportfahrzeug
> folgen. Das Ziel ist daher eine Kurve mit möglichst
> geringer Abweicheung von der Verbindung mit Strecken sowie
> wenig "Lenkbewegung" (Dann sind höhere Geschwindigkeiten
> möglich).
>
> Aufgabe A: Bestimme mit Hilfe von Derive das gesuchte
> Polynom 10. Grades.
> Begründe die Güte der Näherung über das Polynom im
> Vergleich zum dargestellten Spline.
>
> Aufgabe B:
> Erläutere das Verfahren der Interpolation über kubische
> Splines.
> Stelle die Interpolation über natürliche kubische Splines
> anhand der folgenden Situation dar:
> Gesucht ist der Verlauf einer gekrümmten Schiene, die
> durch die Punkte
> Q0 (-3;3), Q1 (0;-1) und Q2 (3;-3) gehen soll.
> Hallo erstmal,
> Ich habe dieses Thema als Abiturprüfung bekommen
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Soll das eine Facharbeit werden oder ein Referat?
> und fnde
> absolut keinen Weg irgendwie auf eine Lösung zu kommen.
> Das Problem ist, niemand kann mir irgendwie weiterhelfen
> ich war des öfteren in der Universität bei uns in der
> Gegend und da konnte man mir auch nicht weiterhelfen.
Das wundert mich sehr. Vielleicht lag's eher am Wollen als am Können.
> Das
> Thema überschreitet bei weitem mein können, da ich Mathe-
> Grundkurs habe.
> Meine Fragen:
> Wie bilde ich den Polynom 10.Grades?
Zunächst einmal mußt Du wissen, wie so ein Polynom 10.Grades aussieht, nämlich so:
[mm] f(x)=ax^{10}+bx^9+cx^8+dx^7+ex^6+fx^5+gx^4+hx^3+ix^2+kx+l.
[/mm]
die Koeffizienten vor den x sind reelle Zahlen.
Du sollst nun herausfinden, welches Polynom 10.Grades Du durch die oben angegebenen 11 Punkte legen kannst.
"Durch die Punkte legen", das bedeutet, daß jeder der angegebenen Punkte auf dem Graphen des gesuchten Polynoms liegen soll.
Der Punkt (1/2,0) soll auf dem Graphen liegen, das bedeutet, daß gelten muß:
[mm] 0=f(\bruch{1}{2})=a(\bruch{1}{2})^{10}+b(\bruch{1}{2})^9+c(\bruch{1}{2})^8+d(\bruch{1}{2})^7+e(\bruch{1}{2})^6+f(\bruch{1}{2})^5+g(\bruch{1}{2})^4+h(\bruch{1}{2})^3+i(\bruch{1}{2})^2+k(\bruch{1}{2})+l
[/mm]
Der Punkt (2/1,5) soll auf dem Graphen liegen, das bedeutet, daß gelten muß:
[mm] 1,5=f(2)=a*2^{10}+b*2^9+c*2^8+d(\bruch{1}{2})^7+e*2^6+f*2^5+g*2^4+h*2^3+i*2^2+k*2+l
[/mm]
Für die anderen 9 Punkte entsprechend.
Du erhältst eine lineares Gleichungssystem mit 11 Gleichungen und den 11 Variablen a,b,...,l, welches zu lösen ist.
Damit kennst Du dann das Polynom 10.Grades, welches durch die 11 vorgegebenen Punkte geht.
>
> Was ist der Unterschied zwischen natürlichen kubischen
> Splines und kubischen Splines?
Es geht hier um die Bedingungen, die an den rechten und linken Rand gestellt werden.
An den Nahtstellen der kubischen Teilstücke müssen ja erste und zweite Ableitung übereinstimmen.
An den beiden Rändern ist man im Prinzip frei.
Als "natürlicher Spline" bezeichnet man solche Splines, bei denen am rechten und linken Rand vorgegeben ist, daß die 2.Ableitung dort =0 sein soll.
Dann gibt es die "eingespannten Splines", bei denen für den rechten und linken Rand jeweils eine bestimmte 1.Ableitung vorgegeben ist, und die "periodischen", bei denen für den rechten Rand 1. und 2.Ableitung vorgegeben sind, und bei denen am linken Rand 1. und 2. Ableitung genauso sein müssen wie rechts.
Gruß v. Angela
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> Kann mir jemand sagen wie ich zu rechnen habe, damit ich
> auf eine Lösung komme?
>
> Wie funktioniert das alles? :(
>
> und - Wie mache ich das mit Derive?
>
> Ich würde mich super auf antworten freuen, da ich überhaupt
> keine Ahnung von dem Thema leider habe und ich überall
> schon hilfe suche.
>
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> Vielen Dank im vorraus.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen vielen dank erstmal für diese Antwort, das hilft mir sehr bei der Aufgabe A!
Kann mir vielleicht jemand noch bei der Aufgabe B ähnlich helfen? Wie muss ich denn da vorgehen?
Wie müssen die Rechenschritte bei dieser Aufgabe aussehen, damit man auf eine Lösung kommt?
Vielen Dank im vorraus schonmal.
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> Kann mir vielleicht jemand noch bei der Aufgabe B ähnlich
> helfen? Wie muss ich denn da vorgehen?
>
> Wie müssen die Rechenschritte bei dieser Aufgabe aussehen,
> damit man auf eine Lösung kommt?
Hallo,
achso, ich dachte, kubischer Spline an sich wäre klar.
Du hast gegeben die Punkte
> Q0 (-3;3), Q1 (0;-1) und Q2 (3;-3) .
Du suchst nun ein Polynom dritten Grades [mm] f_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d, [/mm] welches durch [mm] Q_0 [/mm] und [mm] Q_1 [/mm] geht und ein Polynom [mm] f_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h, [/mm] welches durch [mm] Q_1 [/mm] und [mm] Q_2 [/mm] geht.
Zusätzlich sollen die Polynome an der Nahtstelle dieselbe 1. und 2. Ableitung haben, und da der Spline natürlich sein soll, muß die 2.Ableitung von [mm] f_1 [/mm] an der Stelle -3 und die 2.Ableitung von [mm] f_2 [/mm] an der Stelle 3 Null sein.
Auch diese Bedingungen führen zu einem LGS mit dem Du a,b,...,h ermitteln kannst.
Gruß v. Angela
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Ersteinmal vielen vielen Dank!
Das hat mir echt sehr viel geholfen, nun verstehe ich einiges.
Eine allerletzte Frage hätte ich allerdings noch, wie kann ich das mit Derive ausrechnen / eintippen? kennt sich da jemand aus?
Ich habe das Programm auf dem Rechner ist leider auf Englisch, aber trotzdem auf Deutsch wüsste ich auch nicht, wie die Gleichungen einzutragen sind damit Derive mir ein Ergebniss vorstellt.
Vielen dank im vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Di 20.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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