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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 06.05.2012 | | Autor: | alikah |
| Aufgabe | | Beweise das : e^ln(x) = x |
Brauche Hilfe :
Ich weiß, dass ln(x) die Umkehrfunktion von e ist und sich dass das ausgleicht. Wieso kommt dann da "x" raus? Kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 06.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo alikah,
nimm einfach mal den natürlichen Logarithmus von dieser Gleichung und beachte dabei ein Logarithmengesetz, nämlich
[mm] \ln(a^y) = y \ln a [/mm]
Dann steht die Gleichheit sofort da.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 06.05.2012 | | Autor: | alikah |
> Hallo alikah,
> nimm einfach mal den natürlichen Logarithmus von dieser
> Gleichung und beachte dabei ein Logarithmengesetz,
> nämlich
> [mm]\ln(a^y) = y \ln a[/mm]
> Dann steht die Gleichheit sofort da.
> Viele Grüße,
> Infinit
>
>
Hallo Infinit,
ich verstehe nicht so genau was das mirbringt.
Wenn ich das so umstelle wie du/Sie es mir vorschlägst dann hab ich :
[mm] e^ln(x^1) [/mm] = e^1ln(x)
und was zeigt das mir?
MfG alikah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 So 06.05.2012 | | Autor: | alikah |
> > Hallo alikah,
> > nimm einfach mal den natürlichen Logarithmus von dieser
> > Gleichung und beachte dabei ein Logarithmengesetz,
> > nämlich
> > [mm]\ln(a^y) = y \ln a[/mm]
> > Dann steht die Gleichheit sofort
> da.
> > Viele Grüße,
> > Infinit
> >
> >
>
> Hallo Infinit,
>
> ich verstehe nicht so genau was das mirbringt.
> Wenn ich das so umstelle wie du/Sie es mir vorschlägst
> dann hab ich :
>
> [mm] e^ln(x^1) [/mm] = e^1ln(x)
>
> und was zeigt das mir?
>
> MfG alikah
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Du sollst zeigen:
[mm] $e^{ln(x)}=x$ [/mm]
Wir betrachten die Lösung von ln(x) mal als y. Was heißt denn ln? Ln ist eine Funktion, die den Exponenten der Gleichung [mm] e^y=x [/mm] liefert, korrekt? Also ln(x) bedeutet: Mit welcher Zahl muss ich e potenzieren, so dass x herauskommt: [mm] $e^y=x$ [/mm] Diese Zahl sei nun y.
Jetzt sollst du rechnen:
[mm] $e^{ln(x)}$ [/mm] Wir setzen nun nach obiger Einführung von y ln(x) gleich y:
[mm] $e^y$. [/mm] Was aber ist [mm] e^y? [/mm] Nach obiger Überlegung gerade x. Was zu beweisen war.
Nun zu der Anwendung des ln, wenn man die Aufgabe nicht wie oben beschrieben lösen will:
[mm] $e^{ln(x)}=x \Rightarrow ln(e^{ln(x)})=ln(x) \Rightarrow ln(x)\cdot{}ln(e)=ln(x)$
[/mm]
Mit $ln(e)=1$ folgt:
$ln(x)=ln(x)$
Was eine wahre Aussage ist und überdies auch x=x bedeutet, denn die Argumente müssen natürlich identisch sein. Da die Aussage wahr ist, war auch die Ausgangsgleichung [mm] $e^{ln(x)}=x$ [/mm] wahr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 So 06.05.2012 | | Autor: | alikah |
Lieber Adamantin,
Danke für die ausführliche Antwort. Dies hat mir sehr geholfen.
Mfg Ali
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