Nebenklassen,Matrix,Verstehen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 03.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Es sei K ein Körper und A [mm] \in GL_n(K).Beweisen [/mm] Sie, dass sowohl die Links- als auch die Rechtsnebenklasse bezüglich der Untergruppe [mm] SL_n(K), [/mm] in der A liegt, die Menge [mm] \{B \in GL_n (K)| det(B)=det(A)\} [/mm] ist. |
Hallo,
Ich verstehe die Frage glaube ich falsch, denn ich verstehe sie so, dass zuzeigen ist:
Definiere dazu [mm] \{B \in GL_n (K)| det(B)=det(A)\}=:M.
[/mm]
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in GL_n(K) [/mm] ZZ.:A [mm] SL_n [/mm] (K) = M
Sei A [mm] \in GL_n [/mm] (K) beliebig.
Die Linksnebenklasse von A ist von der Gestalt A [mm] SL_n(K)=\{A*D|D \in SL_n(K)\}
[/mm]
Für die Hinrichtung:
Sei B [mm] \in [/mm] A [mm] SL_n(K) [/mm] so [mm] \exists C\in SL_n(K) [/mm] mit B=A*C
det(B)=det(A*C)=det(A)*det(C)=det(A)
[mm] \rightarrow [/mm] B [mm] \in \{B \in GL_n (K)| det(B)=det(A)\}
[/mm]
Die Umkehrung:
Es ist da doch zz.: dass wenn det(A)=det(B) [mm] \rightarrow [/mm] B [mm] \in [/mm] A [mm] SL_n(K) [/mm] .
[mm] det(A)=det(B)\gdw \frac{\det(B)}{det(A)}=1 \gdw det(A^{-1} [/mm] B)=1 [mm] \gdw A^{-1} [/mm] B [mm] \in SL_n(K) \gdw [/mm] B [mm] \in [/mm] A [mm] SL_n(K)
[/mm]
Meine Freundin hat die Aufgabe so verstanden, dass sie zeigte wann zwei Linksnebenklassen übereinstimmen:
A [mm] SL_n [/mm] (K) = B [mm] SL_n(K)
[/mm]
[mm] \gdw A^{-1} [/mm] B [mm] \in SL_n(K) [/mm] (haben wir allgemein für Links- Nebenklassen gezeigt)
[mm] \gdw det(A^{-1} [/mm] B)=1
[mm] \gdw \frac{det(B)}{det(A)}=1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] det(B)=det(A)
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 04.02.2015 | | Autor: | hippias |
Ihr habt beide recht. Deine Bearbeitung finde ich klarer. Aus der zweiten Variante folgt die Behauptung aber auch leicht. Der Beweis fuer die Rechtsnebenklassen ist natuerlich voellig identisch.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:45 Mi 04.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
Aber wie folgt aus der zweiten Variante die Aussage ohne die erste Variante(meine Lösung) wieder zu repetieren?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 06.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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