Negation einer Aussage < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich habe hier die folgende Aussage, die ich negieren soll:
Für alle reellen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0, so dass für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] mit |x-y| < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] schon |x²-y²| [mm] \ge \varepsilon [/mm] gilt.
Ich habe daraus Folgendes gemacht:
Für mindestens ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert kein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0, so dass für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] mit |x-y| < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] schon |x²-y²| [mm] \ge \varepsilon [/mm] gilt.
Ich war mir zunächst auch ziemlich sicher, dass das stimmt, bin jetzt aber am Zweifeln, weil ich nun auch noch die folgende Möglichkeit in Betracht ziehe:
Für mindestens ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert kein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0, so dass für mindestens ein x, y [mm] \in \IR [/mm] mit |x-y| < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] |x²-y²| [mm] \ge \varepsilon [/mm] nicht gilt.
Was ist denn nun richtig? Oder ist das einfach nur Auffassung?
Gruß und danke für eure Gedanken
Jasmin
PS: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:43 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Hallo und Willkommen im Forum Haeslein,
Also zu deiner Frage würde ich sagen: Aus deiner Aussage
Für alle reellen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0, so dass für alle x, y mit |x-y| < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] schon |x²-y²| [mm] \ge \varepsilon [/mm] gilt.
würde ich daraus Folgendes machen:
Für mindestens ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert mind. ein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0, so dass für alle x, y mit |x-y| < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] schon [mm] |x²-y²|<\varepsilon [/mm] gilt.
Ganz sicher bin ich mir nicht, aber glaub das sit wahrscheinlicher als deine Lsgen...
Also denn
Lg
Antimon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Sa 29.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für mindestens ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert
> mind. ein [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] > 0, so dass für alle x, y
> mit |x-y| < [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] schon [mm]|x²-y²|<\varepsilon[/mm]
> gilt.
Falsch.
> Ganz sicher bin ich mir nicht, aber glaub das sit
> wahrscheinlicher als deine Lsgen...
Wahrscheinlicher? Woraus würde sich das wahrscheinlicher denn begründen?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 30.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Hallöle,
wollt mich wegen meiner falschen Antwort entschuldigen, nach dem Secki einen so zur Schnecke macht...
Secki, ein bisschen freundlicher wäre echt netter...
Haeslein,
tut mir leid, aber naja...
Gruß
Antimon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 29.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für alle reellen [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein
> [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] > 0, so dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm] mit
> |x-y| < [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] schon |x²-y²| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
> gilt.
Mit Quantoren: [m]\forall\varepsilon >0\exists\delta >0\forall x\forall y(|x-y| < \delta \to |x^2-y^2|<\varepsilon)[/m]. Wie negiert man sowas? Dazu beachte man folgende (eigentlich einleuchtende) Regeln: [m]\neg\forall x A=\exists x\neg A[/m] sowie [m]\neg\exists x A=\forall x \neg A[/m].
EDIT: Das prinzipielle Vorgehen sit immer noch richtig, aber man muss das letzte < durch ein [m]\ge[/m] ersetzen - dann wird die aussage aber immer falsch. Sorry, das ich das mit gleichmäßiger Stetigkeit verwechselt habe.
[erster Ausdruck]
> Ich war mir zunächst auch ziemlich sicher, dass das stimmt,
> bin jetzt aber am Zweifeln, weil ich nun auch noch die
> folgende Möglichkeit in Betracht ziehe:
Es ist gut, dass du zweifelst, da sie falsch ist.
> Für mindestens ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert kein
> [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] > 0, so dass für mindestens ein x, y
> [mm]\in \IR[/mm] mit |x-y| < [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] |x²-y²| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
> nicht gilt.
Das 'kein' scheint auch nicht so toll. Probier doch mal mit obigen Regeln die Quantoren umzudrehn.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 So 30.10.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
erstmal danke für deine Hilfe.
Ich habe jetzt mal versucht, mit Quantoren zu arbeiten, bin mir jetzt allerdings überhaupt nicht mehr sicher, ob meine Lösung, die ich jetzt gefunden habe, stimmt.
Es wäre schön, wenn da jemand nochmal drüber gucken könnte. Außerdem würde mich interessieren, wie ich das wieder in den ursprünglichen Satz bringe, falls es stimmt.
Aus diesem Satz:
"Für alle reellen [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein
[mm]\delta(\varepsilon)[/mm] > 0, so dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm] mit |x-y| < [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] schon |x²-y²| [mm]\ge \varepsilon[/mm] gilt."
erhält man mit Quantoren Folgendes:
" [m]\forall\varepsilon >0\exists\delta >0\forall x\forall y(|x-y| < \delta \to |x^2-y^2|<\varepsilon)[/m]. "
Nach Anwenden der Regeln habe ich jetzt erhalten:
[m]\exists\varepsilon < 0 \forall\delta <0\exists x\exists y \neg(|x-y| < \delta \to |x^2-y^2|<\varepsilon)[/m].
Stimmt das denn jetzt so? Irgendwie bin ich jetzt noch verwirrter als vorher... :-(
Wäre schön, wenn mir das noch jemand verbessern könnte.
Und: Wie verfasse ich das jetzt wiederum in meinen ursprünglichen Satz?
Mein Versuch:
Für mindestens ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] < 0 existieren reelle [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] < 0, so dass für mindestens ein x und für mindestens ein y [mm] \in \IR [/mm] mit |x-y| > [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] schon |x²-y²| < [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
Stimmt das so?
Für eure Gedanken und Anregungen vielen Dank!
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 30.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Nach Anwenden der Regeln habe ich jetzt erhalten:
> [m]\exists\varepsilon < 0 \forall\delta <0\exists x\exists y \neg(|x-y| < \delta \to |x^2-y^2|<\varepsilon)[/m].
>
> Stimmt das denn jetzt so? Irgendwie bin ich jetzt noch
> verwirrter als vorher... :-(
Ja, man kann das innere noch vereinfachen (letztes [m]\neg[/m]): [m]|x-y|<\delta \wedge |x^2-y^2|\ge \varpesilon[/m]
EDIT: quasi Folgefehler. Was da steht ist schon richtig, aber wohl nicht mit der Aufgabenstellung kompatibel.
> Und: Wie verfasse ich das jetzt wiederum in meinen
> ursprünglichen Satz?
Man übersetzt ist wider einfach zurück? Wo ist das Problem?
> Für mindestens ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] < 0 existieren
> reelle [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] < 0, so dass für mindestens ein
> x und für mindestens ein y [mm]\in \IR[/mm] mit |x-y| >
> [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] schon |x²-y²| < [mm]\varepsilon[/mm] gilt.
Spar dir immer das mindestens - das braucht man nicht (Existenzen sind in der Mathematik eiegentlich immer Mindestens, ansonsten sagt man "existiert genau ein"). Also: Für ein [m]\varpesilon[/m] gilt, das für alle [m]\delta[/m]...existieren x, y mit:... Probier es nochmal, aber das ist ejtzt wohl leicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 30.10.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo SEcki!
Danke für deine Antwort und deine Geduld! 
> Ja, man kann das innere noch vereinfachen (letztes [m]\neg[/m]):
> [m]|x-y|<\delta \wedge |x^2-y^2|\ge \varpesilon[/m]
Das war aber nicht die Ausformulierung, oder? Da war ja gar nichts verändert. Das stimmte doch so, wie es in meiner Ausformulierung war, oder?
Hier mein neuer Versuch:
Für ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] < 0, für das alle reellen [mm]\delta(\varepsilon)[/mm] < 0 existieren, existieren x und y [mm]\in \IR[/mm] mit |x-y| > [mm]\delta(\varepsilon)[/mm], so dass |x²-y²| < [mm]\varepsilon[/mm] schon gilt.
Ist das jetzt okay so?
Dann habe ich allerdings noch eine kurze Frage:
Wenn ich z. B. die Stelle "...existiert ein reelles [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0..." betrachte, die ich verneinen will, dann habe ich bei der Verneinung mit Quantoren immer das Gefühl, ich verneine doppelt:
Einerseits ändere ich das "es existiert" in ein "für alle" und andererseits drehe ich das ">" in ein "<" um. Hebe ich dann die Negation nicht wieder auf, wenn ich beide Sachen auf einmal mache?
Wäre schön, wenn du/ihr mir noch ein letztes Mal helfen könnte(s)t.
Gruß und danke!
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jasmin!
Ich habe mir jetzt den Strang nicht durchgelesen, aber die richtige Antwort lautet jedenfalls:
Es gibt ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] so dass für alle [mm] $\delta>0$ [/mm] gilt: Es gibt [mm] $x,\, [/mm] y$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] und [mm] $|x^2-y^2| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Kannst du das nachvollziehen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Di 01.11.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo nochmal,
nein, ich habe es jetzt nicht verstanden. Irgendwie habt ihr mich nun noch mehr verwirrt, als ich es eh schon war....
Warum wird bei Negation der Klammer kein einziges Vorzeichen verändert? Also warum wird daraus nicht:
Für ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] < 0, für das alle reellen [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] < 0 existieren, existieren x und y [mm] \in [/mm] IR mit |x-y| > [mm] \delta(varepsilon) [/mm] , so dass |x²-y²| < [mm] \varepsilon [/mm] schon gilt.
Darf ich eure Kommentare dann jetzt so interpretieren, dass die Lösung folgendermaßen lautet:
Für ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] < 0, für das alle reellen [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] < 0 existieren, existieren x und y [mm] \in [/mm] IR mit |x-y| < [mm] \delta(varepsilon) [/mm] , so dass |x²-y²| [mm] \ge \varepsilon [/mm] schon gilt.
Ist das jetzt richtig?
Wenn nicht, wäre es sehr lieb, wenn mir jemand von euch jetzt einmal die ganze Lösung hinschreiben könnte, da ich jetzt gar nichts mehr verstehe und es mich immer mehr verwirrt, wenn ihr nur Bruchteile bearbeitet, in denen unter Umständen noch Fehler sind. :-(
Es wäre also sehr lieb, wenn ihr mir noch einmal helfen könntet.
Außerdem ist meine folgende Frage leider nicht beantwortet worden:
Wenn ich z. B. die Stelle "...existiert ein reelles [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0..." betrachte, die ich verneinen will, dann habe ich bei der Verneinung mit Quantoren immer das Gefühl, ich verneine doppelt:
Einerseits ändere ich das "es existiert" in ein "für alle" und andererseits drehe ich das ">" in ein "<" um. Hebe ich dann die Negation nicht wieder auf, wenn ich beide Sachen auf einmal mache?
Freue mich auf eure erlösende Hilfe!
Liebe Grüße
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Di 01.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Jasmin!
Also, da hier wohl offensichtlich einiges durcheinander gegangen ist, versuch ich mal, das Chaos etwas zu lichten.
Erstmal nochmal zu den Verneinungsregeln mit Quantoren: Du musst nur die Quantoren "umdrehen" und nicht die Bedingung, also in diesem Fall nicht das $>$-Zeichen. Die Aussage die du treffen willst, soll sich ja immernoch auf die gleichen Elemente beziehen! Was du am Ende noch verneinen musst, ist die Aussage die ganz am Ende steht, also in deinem Fall die Folgerung.
Jetzt zur Verneinung der Folgerung: Eine Aussage [mm] $(A\Rightarrow [/mm] B)$ kann man auch schreiben als [mm] $(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)$ (kann man leicht mit einer Wahrheitstafel beweisen...) So lässt sich das ganze leichter verneinen: [mm] $\neg(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] B)$ (nach den Regeln der Negation von [mm] $\vee$)
[/mm]
Für deinen Fall ist A die Aussage: [mm] $|x-y|<\delta_{\varepsilon}$ [/mm] und B die Aussage: [mm] $|x^2-y^2|\ge \varepsilon$, [/mm] die Verneinung der Folgerung muss also lauten:
[mm] $|x-y|<\delta_{\varepsilon} \wedge |x^2-y^2| [/mm] < [mm] \varepsilon$ ($\ge$ [/mm] wird durch $<$ negiert und umgekehrt, genauso für [mm] $\le$ [/mm] und $>$)
Deine Aussage negiert heißt dann also:
[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > [mm] 0:\forall \delta_{\varepsilon}>0: \exists [/mm] x [mm] \exists y:|x-y|<\delta_{\varepsilon} \wedge |x^2-y^2|< \varepsilon$
[/mm]
Ausformuliert heißt das genau das, was Stefan geschrieben hat
Ich hoffe, damit lichtet sich das Chaos ein wenig, wenn du aber noch Fragen hast, stell sie ruhig
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Di 01.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo SEcki!
> > ... und [mm]|x^2-y^2 < \varepsilon[/mm].
>
> Räusper - das muss [mm]|x^2-y^2 \ge \varepsilon[/mm] heissen. War
> das ein Tipfehler?
Nein, war es nicht, vielleicht solltest du dir die Aufgabenstellung nochmal durchlesen... Und auch sonst etwas genauer lesen, du hast nämlich einige Fehler von Haeslein nicht gesehen und korrigiert...
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:30 Mi 02.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Nein. Es war richtig. Deine Antworten zuvor leider aber
> größtenteils falsch...
Naja, das prinzipielle Vorgehen war ja richtig, oder? (Quantoren drehen). Ich dachte dabei an gleichmäßige Stetigkeit, und daher habe ich das Zeichen zum Schluß gedreht.
Wenn man jetzt die neue aussage aber seziert fällt auf: sie ist immer falsch. Es steht das Falsum da (für x=y), also ist die umkehrung einfach immer wahr - das Varum. Und somit gäbe es dann auch eine viel, viel leichtere Lösung. Das finde ich jetzt etwas komisch
EDIT: hmm, eigentlich gar nicht so komisch, da für die spezielle Quadratfunktion die andere Aussage ja auch falsch ist (aber nicht so offensichtlich). Ich hoffe, die Antworten sind jetzt richtig.
SEcki
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