Negation von "fast sicher" < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]X: (\Omega, \mathcal{A}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR})[/mm] eine [mm](\mathcal{A}, \mathcal{B}_{\IR})[/mm]-messbare Abbildung. Sei [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm](\Omega, \mathcal{A})[/mm].
Ich suche ein Gegenbeispiel für die für die folgende Implikation:
[mm]( \neg ([/mm]X = 0[mm] [/mm] [mm] \mu[/mm] [mm]-f.s.))[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] ([mm]\exists A \in \mathcal{A}: \mu(A) > 0[/mm] und [mm]\forall \omega \in A: X(\omega) \not= 0[/mm].) |
Hallo!
Mir ist klar, dass
[mm]\neg ([/mm]X = 0[mm] [/mm] [mm] \mu[/mm] [mm]-f.s.))[/mm]
[mm]= \neg ( \exists N \in \mathcal{A}: \mu(A) = 0 [/mm] und [mm]\forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0[/mm])
[mm]= \forall N \in \mathcal{A}: \mu(A) > 0 [/mm] oder [mm]\exists \omega \in N^{c}: X(\omega) \not= 0[/mm].
Dementsprechend sollte obige Folgerung falsch sein (obwohl sie ja zunächst plausibel scheint: Wenn es nicht [mm]\mu[/mm]-f.s. gilt, muss es eine Nichtnullmenge geben, auf der die Aussage nicht gilt.
Hat jemand von euch schonmal über ein Gegenbeispiel nachgedacht 
Ich habe schon einige leichte [mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{A}[/mm] probiert, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.
Viele Grüße,
Stefan
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Hiho,
du musst mit deiner Negation bezüglich der Quantoren aufpassen.
Ich schreibs mal sauberer auf, damit es klar wird (und korrigier nebenbei deine A vs. N Geschwurbel  )
> [mm]\neg ([/mm]X = 0[mm][/mm] [mm]\mu[/mm] [mm]-f.s.))[/mm]
>
> [mm]= \neg ( \exists N \in \mathcal{A}: \mu(A) = 0[/mm] und [mm]\forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0[/mm])
Sauber:
[mm] $\neg (\exists [/mm] N [mm] \in \mathcal{A}:\left[ \mu(N) = 0 \;\wedge\;\forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0\right]) [/mm]
Zwischenschritt:
[mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \mathcal{A}: \left[ \mu(N) = 0 \;\wedge\; \forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0\right]^c$
[/mm]
> [mm]= \forall N \in \mathcal{A}: \mu(A) > 0[/mm] oder [mm]\exists \omega \in N^{c}: X(\omega) \not= 0[/mm].
Sauberer:
[mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \mathcal{A}:\left[ \mu(N) > 0\;\vee\;\exists \omega \in N^{c}: X(\omega) \not= 0\right]$
[/mm]
Oder in Worten:
Jede Menge N aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist eine Nicht-Nullmenge oder es gibt ein Element im Komplement, dessen Abbildung nicht Null ist.
Hilft dir das für die Konstruktion eines Gegenbeispiels?
edit: Ein Gegenbeispiel ist im wahrsten Sinne des Wortes trivial.... aber versuch dich gar nicht erst an der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] du findest zu jeder ein triviales Gegenbeispiel
MFG,
Gono.
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Hallo Stefan,
[mm] $\mu\equiv [/mm] 0$
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 So 03.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
du kannst lange nach einem Gegenbeispiel suchen, die Aussage ist nämlich richtig!
Zunächst zum vermeintlichen Gegenbeispiel [mm] $\mu\equiv0$: [/mm] Dann gilt jede Aussage [mm] $\mu$-f.s. [/mm] Also kann die Prämisse [mm] $\neg$($X=0$ [/mm] f.s.) gar nicht erfüllt sein.
Für die Erklärung, warum die Aussage richtig ist, hole ich ein wenig aus:
Ersetzen wir zunächst das Ereignis [mm] $\{X=0\}$ [/mm] durch eine beliebige Teilmenge [mm] $B\subseteq\Omega$ [/mm] eines Maßraumes [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$, [/mm] so dass die durch B gegebene Aussage nicht fast sicher gilt. Die Frage ist nun, ob ein [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A)>0$ [/mm] existieren muss, so dass alle [mm] $\omega\in [/mm] A$ nicht B erfüllen.
Die Antwort in dieser Allgemeinheit lautet in der Tat: Nein. Gegenbeispiel:
[mm] $\Omega=\IR$
[/mm]
[mm] $\mathcal{A}=\{A\subseteq\IR\;|\; A\mbox{ oder }A^c\mbox{ abzählbar}\}$
[/mm]
[mm] $\mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{für } A^c \mbox{ abzählbar} \end{cases}$
[/mm]
[mm] $B=\IR_{>0}$
[/mm]
Setzen wir aber zusätzlich [mm] $B\in\mathcal{A}$ [/mm] voraus (und in deiner Version der Frage ist ja [mm] $\{X=0\}\in\mathcal{A}$), [/mm] so lautet die Antwort: Ja!
Im Falle [mm] $B\in\mathcal{A}$ [/mm] vereinfacht sich die etwas unhandliche Definition von "B f.s." einfach zu [mm] $\mu(B^c)=0$! [/mm] (Nützliche Charakterisierung, die man sich einmal überlegen sollte.)
"Nicht (B f.s.)" heißt also in diesem Fall einfach [mm] $\mu(B^c)>0$. [/mm] Man nehme nun [mm] $A=B^c$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Vielen Dank tobit für deine Antwort!
Das leuchtet mir ein
Steafn
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