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Negation von "fast sicher": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Mi 30.05.2012
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei [mm]X: (\Omega, \mathcal{A}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR})[/mm] eine [mm](\mathcal{A}, \mathcal{B}_{\IR})[/mm]-messbare Abbildung. Sei [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm](\Omega, \mathcal{A})[/mm].

Ich suche ein Gegenbeispiel für die für die folgende Implikation:

[mm]( \neg ([/mm]X = 0[mm] [/mm]  [mm] \mu[/mm] [mm]-f.s.))[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] ([mm]\exists A \in \mathcal{A}: \mu(A) > 0[/mm] und [mm]\forall \omega \in A: X(\omega) \not= 0[/mm].)



Hallo!

Mir ist klar, dass

[mm]\neg ([/mm]X = 0[mm] [/mm]  [mm] \mu[/mm] [mm]-f.s.))[/mm]

[mm]= \neg ( \exists N \in \mathcal{A}: \mu(A) = 0 [/mm] und [mm]\forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0[/mm])

[mm]= \forall N \in \mathcal{A}: \mu(A) > 0 [/mm] oder [mm]\exists \omega \in N^{c}: X(\omega) \not= 0[/mm].

Dementsprechend sollte obige Folgerung falsch sein (obwohl sie ja zunächst plausibel scheint: Wenn es nicht [mm]\mu[/mm]-f.s. gilt, muss es eine Nichtnullmenge geben, auf der die Aussage nicht gilt.

Hat jemand von euch schonmal über ein Gegenbeispiel nachgedacht :-)
Ich habe schon einige leichte [mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{A}[/mm] probiert, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.

Viele Grüße,
Stefan

        
Bezug
Negation von "fast sicher": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mi 30.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du musst mit deiner Negation bezüglich der Quantoren aufpassen.
Ich schreibs mal sauberer auf, damit es klar wird (und korrigier nebenbei deine A vs. N Geschwurbel ;-) )


> [mm]\neg ([/mm]X = 0[mm][/mm]  [mm]\mu[/mm] [mm]-f.s.))[/mm]
>  
> [mm]= \neg ( \exists N \in \mathcal{A}: \mu(A) = 0[/mm] und [mm]\forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0[/mm])

Sauber:

[mm] $\neg (\exists [/mm] N [mm] \in \mathcal{A}:\left[ \mu(N) = 0 \;\wedge\;\forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0\right]) [/mm]

Zwischenschritt:

[mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \mathcal{A}: \left[ \mu(N) = 0 \;\wedge\; \forall \omega \in N^{c}: X(\omega) = 0\right]^c$ [/mm]

> [mm]= \forall N \in \mathcal{A}: \mu(A) > 0[/mm] oder [mm]\exists \omega \in N^{c}: X(\omega) \not= 0[/mm].

Sauberer:

[mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \mathcal{A}:\left[ \mu(N) > 0\;\vee\;\exists \omega \in N^{c}: X(\omega) \not= 0\right]$ [/mm]

Oder in Worten:

Jede Menge N aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist eine Nicht-Nullmenge oder es gibt ein Element im Komplement, dessen Abbildung nicht Null ist.

Hilft dir das für die Konstruktion eines Gegenbeispiels?

edit: Ein Gegenbeispiel ist im wahrsten Sinne des Wortes trivial.... aber versuch dich gar nicht erst an der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] du findest zu jeder ein triviales Gegenbeispiel ;-)

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Negation von "fast sicher": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Do 31.05.2012
Autor: steppenhahn


Hallo Gono,

danke für deine Antwort und deine Korrekturen!


> edit: Ein Gegenbeispiel ist im wahrsten Sinne des Wortes
> trivial.... aber versuch dich gar nicht erst an der
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, du findest zu jeder ein triviales
> Gegenbeispiel ;-)

Mir will es nicht einfallen...
Verrätst du es mir? :-) :-) :-)

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Negation von "fast sicher": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 Do 31.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hallo Stefan,

[mm] $\mu\equiv [/mm] 0$

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Negation von "fast sicher": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:15 So 03.06.2012
Autor: steppenhahn

Danke Gono!

Bezug
        
Bezug
Negation von "fast sicher": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 So 03.06.2012
Autor: tobit09

Hallo zusammen,


du kannst lange nach einem Gegenbeispiel suchen, die Aussage ist nämlich richtig!

Zunächst zum vermeintlichen Gegenbeispiel [mm] $\mu\equiv0$: [/mm] Dann gilt jede Aussage [mm] $\mu$-f.s. [/mm] Also kann die Prämisse [mm] $\neg$($X=0$ [/mm] f.s.) gar nicht erfüllt sein.


Für die Erklärung, warum die Aussage richtig ist, hole ich ein wenig aus:

Ersetzen wir zunächst das Ereignis [mm] $\{X=0\}$ [/mm] durch eine beliebige Teilmenge [mm] $B\subseteq\Omega$ [/mm] eines Maßraumes [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$, [/mm] so dass die durch B gegebene Aussage nicht fast sicher gilt. Die Frage ist nun, ob ein [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A)>0$ [/mm] existieren muss, so dass alle [mm] $\omega\in [/mm] A$ nicht B erfüllen.

Die Antwort in dieser Allgemeinheit lautet in der Tat: Nein. Gegenbeispiel:

     [mm] $\Omega=\IR$ [/mm]
     [mm] $\mathcal{A}=\{A\subseteq\IR\;|\; A\mbox{ oder }A^c\mbox{ abzählbar}\}$ [/mm]
     [mm] $\mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{für } A^c \mbox{ abzählbar} \end{cases}$ [/mm]
     [mm] $B=\IR_{>0}$ [/mm]

Setzen wir aber zusätzlich [mm] $B\in\mathcal{A}$ [/mm] voraus (und in deiner Version der Frage ist ja [mm] $\{X=0\}\in\mathcal{A}$), [/mm] so lautet die Antwort: Ja!

Im Falle [mm] $B\in\mathcal{A}$ [/mm] vereinfacht sich die etwas unhandliche Definition von "B f.s." einfach zu [mm] $\mu(B^c)=0$! [/mm] (Nützliche Charakterisierung, die man sich einmal überlegen sollte.)

"Nicht (B f.s.)" heißt also in diesem Fall einfach [mm] $\mu(B^c)>0$. [/mm] Man nehme nun [mm] $A=B^c$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Negation von "fast sicher": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 So 03.06.2012
Autor: steppenhahn

Vielen Dank tobit für deine Antwort!
Das leuchtet mir ein :-) :-)

Steafn

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