Netz einer Pyramide im Quadrat < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Do 12.05.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo knobel mal wieder an einer Aufgabe :
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a
Schneidet man aus diesem gleichschenklige Dreiecke heraus, entsteht das Netz einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
Welche dieser Pyramiden hat ein maximales Volumen :
Überlegung :
[mm] \bruch{1}{3}*g*h
[/mm]
[mm] a^2+a^2=d^2 [/mm] ( diagonale)
[mm] \wurzel{2a}=d
[/mm]
[mm] (\bruch{d}{2}-x)^2*h^2(höhe)= x^2
[/mm]
x ist ist die höhe der Dreiecke
ich versuche also mit
[mm] (\bruch{d}{2}-x) [/mm] die strecke bis zum mittelpunkt der quadratischen grudfläche zu bekommen um so mit phytagoras die höhe zu bekommen
nur ich komme nicht mehr so ganz klar damit...
habt ihr ne idee ?
soll ich eine zeichnung ev. mal scannen ?
danke
![[]](/images/popup.gif) HIER DIE SKIZZE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 12.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Magnia,
ich würde es leicht anders versuchen. Ich habe die Entfernung der Ecken des inneren Quadrats zu den Seiten des äußeren Quadrats mit $x$ bezeichnet. Die Kanten des inneren Quadrats bezeichne ich mit $b$, die Höhen der Seitenflächen mit $h$.
Aus der Diagonalen des äußeren Dreiecks weiß man, dass [mm] $\sqrt{2} \cdot [/mm] a = [mm] 2\cdot [/mm] h +b$, d.h. [mm] $h=\frac{1}{2}\cdot \left(\sqrt{2}a-b\right)$. [/mm] Mit Pythagoras errechnet man [mm] $b=\sqrt{2} \cdot \left(\frac{a}{2}-x\right)$.
[/mm]
Jetzt kannst du sowhl $b$ wie auch $h$ durch $x$ ausdrücken und sicherlich alleine den Wert von $x$ bestimmen, für den die Pyramide das größte Volumen hat.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 12.05.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
wie genau bist du auf das b gekommen das kann ich nicht genau erkenne.
also habe ich jetzt h und b
h ist aber nur die höhe des dreiecks nicht aber der pyramide also
rechne ich ja
höhe pyramide ^2 [mm] +1/2b^2 [/mm] = [mm] h^2
[/mm]
also habe ich
höhe pyramide [mm] =\wurzel{h-1/2b}
[/mm]
und könnte dann einsetzen
1/3 * b *h
da kommt aber schön was buntes raus
mit h, b und x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Do 12.05.2005 | | Autor: | Max |
Nenn doch Höhe der Pyramide einfach [mm] $h_p$.
[/mm]
Dann gilt [mm] $h^2=(h_p)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2$, [/mm] also [mm] $h_p=\sqrt{h^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}$.
[/mm]
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Do 12.05.2005 | | Autor: | leduart |
> Welche dieser Pyramiden hat ein maximales Volumen :
> Überlegung :
> [mm]\bruch{1}{3}*g*h[/mm]
> [mm]a^2+a^2=d^2[/mm] ( diagonale)
> [mm]\wurzel{2a}=d[/mm]
alles richtig
>
> [mm](\bruch{d}{2}-x)^2*h^2(höhe)= x^2[/mm]
Hier steht ein * statt das richtige +
also [mm] (\bruch{d}{2}-x)^2+h^2(höhe)= x^2
[/mm]
>
> x ist ist die höhe der Dreiecke
Wenn ich richtig verstehe meinst du damit die Höhe der Dreiecke die stehen bleiben, nicht die Höhe der ausgeschnittenen.
> ich versuche also mit
> [mm](\bruch{d}{2}-x)[/mm] die strecke bis zum mittelpunkt der
> quadratischen grudfläche zu bekommen um so mit phytagoras
> die höhe zu bekommen
alles richtig! und gut!
> nur ich komme nicht mehr so ganz klar damit...
Die Seite deines Mittenquadrates ist doch [mm] 2*(\bruch{d}{2}-x)=d-2*x
[/mm]
also [mm] g=(d-2*x)^{}
[/mm]
[mm] h=\wurzel{x^{2}(\bruch{d}{2}-x)^{2}} [/mm] wenn du das vereinfachst siehts nicht mehr so schlimm aus.
Und schon hast du 3*V=g*h !!
also warst du schon fast fertig!! und alles war richtig und du hast nur zu schnell aufgegeben!
Das Differenzieren ist ein bissel mühsam, Wenn du mit Wurzeln schlecht kannst, wenn V ein Maximum hat hat auch 3*V eines und auch [mm] (3*V)^{2}
[/mm]
beim Nullsetzten von V' wird aber alles wieder ziemlich einfach.(lass nur (d-2x) immer stehen, nicht die Klammer auflösen, denn bei x=d/2 hast du ja V=0 und damit ein Minimum! da muss also V' schon mal 0sein eine gute Kontrolle!
Ich hab x=0,3d raus aber ohne Garantie
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Magnia |
ok gut ich habe also
g= (d-2x)
und
h= [mm] \wurzel{x^2-( \bruch{d}{2}-x^2}
[/mm]
muss doch ein - sein zwischen [mm] x^2 [/mm] und dem bruch ?
also habe ich
[mm] \bruch{1}{3}* [/mm] (d-2x) * x-( [mm] \bruch{d}{2}-x [/mm] ( quadrat und wurzel hebt sich ja auf)
[mm] \bruch{1}{6}d^2- \bruch{2}{3}dx- \bruch{1}{3}dx+ \bruch{4}{3}x^2
[/mm]
das abgeleitet und ausgerechnet erhallte ich x= [mm] \bruch{3}{8}d
[/mm]
also is g = [mm] \bruch{1}{4}d
[/mm]
und h= [mm] \bruch{1}{4}d
[/mm]
kann das sein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 14.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider hab ich nen Quadrat vergessen! [mm] g=(d-2x)^{2} [/mm] es ist ja ein Quadrat!!
aber dafür hast du eins zuviel! h darf nicht quadriert werden.
Du hast dann :
V = [mm] \bruch{1}{3}*\wurzel{x^2- (\bruch{d}{2}-x)^2}*(d-2x)^{2}=\bruch{1}{3}*\wurzel{d*x-\bruch{d^{2}}{4}}* (d-2x)^{2}
[/mm]
leider was komplizierter als dein Ausdruck. Aber Produkt und Kettenregel muß man eh üben!
(zur kontrolle x muss größer als d/4 sen und kleiner als d/2 sonst gibts ja keine echte Pyramide. bei d/2 hast du dein Quadrat vom Anfang so zerschnitten, dass nur 1 Punkt übrig bleibt, bei d/4 hat die Pyramide keine Höhe mehr)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Magnia |
wie kommst du darauf, dass g = [mm] (d-2x)^2 [/mm] ist ?
ich nehme doch die diagonale und ziehe 2 mal die höhe des dreiecks ab )welches die seite x ist)
wieso ^2 ?
und wieso darf ich nicht wenn ich
h= [mm] \wurzel{x^2-( \bruch{d}{2}-x)^2}
[/mm]
einfach schreiben
h= {x-( [mm] \bruch{d}{2}-x)}
[/mm]
ist doch das selbe wie z.B.
z = [mm] \wurzel{x^2}
[/mm]
z = x
das hebt sich doch auf ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend Magnia!
> wie kommst du darauf, dass g = [mm](d-2x)^2[/mm] ist ?
$g$ (oder besser wäre mit Großbuchstaben: $G$) ist doch die Grundfläche der entstehenden Pyramide.
Und diese Grundfläche ist in unserem Fall ein Quadrat, dessen Flächeninhalt sich berechnet als Quadrat der Kantenlänge.
Daher gilt: $G \ = \ [mm] (d-2x)^{\red{2}}$
[/mm]
> und wieso darf ich nicht wenn ich
> h= [mm]\wurzel{x^2-( \bruch{d}{2}-x)^2}[/mm]
> einfach schreiben
> h= x-( [mm]\bruch{d}{2}-x)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bei Summen und Differenzen darfst Du die Wurzel nicht gegen die Quadrate "kürzen", da im Allgemeinen gilt: [mm] $\wurzel{a^2 + b^2} [/mm] \ \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ \ a + b$ !!!
Gegenbeispiel: [mm] $\wurzel{1^2 + 2^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{5} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 3 \ = \ 1 + 2$
Okay? Verstanden?
Dieses "gegenseitige Aufheben" kannst Du nur bei Produkten oder Quotienten machen (und da müßten eigentlich immer Betragsstriche stehen).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Sa 14.05.2005 | | Autor: | leduart |
Alles erledigt
leduart
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![[]](http://web51.troubadix.isp4net.de/michi//1.jpg){kind=small}
HIER DIE SKIZZE