Neue Aufgaben Nr. 12 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:42 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Irische Mathematik Olympiade 1996
Beweise für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 8^{\frac{1}{8}}\cdots (2^n)^{\frac{1}{2^n}}<4$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Nun zu dieser letzten Aufgabe:
[mm] 2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 8^{\frac{1}{8}}\cdots (2^n)^{\frac{1}{2^n}}<4 [/mm]
[mm]\gdw 2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+...+\frac{n}{2^n}}<4[/mm]
Die Ungleichung ist offenbar erfüllt, wenn die Summe im Exponenten kleiner 2 ist.
Dies folgt aus [mm] $\summe_{k=1}^{\infinite} \frac{k}{2^k}=2$ [/mm] (wie bekomme ich die liegende 8 ???)
Da $2- [mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}=\frac{n+2}{2^n}$
[/mm]
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Info: Die liegende Acht erhältst du über infty.
Zur Aufgabe: ich bin mri nicht sicher, ob du die Reihe und ihren Grenzwert kennst, oder ob mir die letzte Zeile sagen soll, warum sie gegen 2 konvergiert. Der vollständigkeit halber füge ich hier nochmal einen Beweis an, der hoffentlich nicht zu umständlich ist:
Zeige:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{\frac{i}{2^i}}<2$
[/mm]
[mm] $\gdw \summe_{i=1}^{n}{\summe_{k=i}^{n}{\frac{1}{2^k}}}<2$
[/mm]
[mm] $\gdw \summe_{i=1}^{n}\left( {\summe_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^k}}-\summe_{k=0}^{i-1}{\frac{1}{2^k}}}\right) [/mm] <2$
[mm] $\gdw \summe_{i=1}^{n}{\left( 2-\frac{1}{2^{n}}-2+\frac{1}{2^{i-1}}\right) }<2$
[/mm]
[mm] $\gdw -\frac{n}{2^n}+2-\frac{1}{2^{n-1}}<2$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{n}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}>0$,
[/mm]
was offensichtlich korrekt ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 So 20.02.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo hanno,
Die letze Zeile ist vielleicht etwas kurz geraten, aber ich hatte da an vollständige Induktion gedacht.
$2- [mm] \summe_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}=\frac{n+2}{2^n}$
[/mm]
[mm]\gdw 2- \summe_{i=1}^{n+1}\frac{i}{2^i}=\frac{n+2}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{n+3}{2^{n+1}}[/mm]
Da Differenz eine Nullfolge ist gilt: [mm]2- \summe_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}=0[/mm] womit die Reihe gegen 2 konvergiert. Da alle Folgeglieder positiv sind, ist die Reihe streng monoten und somit an jeder Stelle kleiner 2.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Wunderbar, danke für den Nachtrag!
Liebe Grüße,
Hanno
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