Neumannsche Reihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Löse die Integralgleichung
[mm] $x(s)-\int_0^12stx(t)dt=\sin\pi s,~~~x\in[0,1]$
[/mm]
mit Hilfe der Methode der Neumannschen Reihe. |
Definiere [mm] $T_k:C[0,1]\rightarrow C[0,1],~T_kx:=\int_0^1k(.,t)x(t)dt$ [/mm] mit $k(s,t)=2st$. Dann ist mit [mm] $y(s)=\sin \pi [/mm] s$
[mm] $(\text{Id} -T_k)x=y$
[/mm]
Dann konvergiert doch die Neumannsche Reihe
[mm] $(\text{Id}-T_k)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}T_k^n$
[/mm]
falls [mm] $||T_k||<1$. [/mm] Allerdings ist hier doch
[mm] $||T_k||=\sup_s\int_0^1|k(s,t)|dt=\sup_s\int_0^1 [/mm] |2st|dt=1$
Gibt es noch andere Konvergenzkriterien außer der Operatornorm?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Löse die Integralgleichung
> [mm]x(s)-\int_0^12stx(t)dt=\sin\pi s,~~~x\in[0,1][/mm]
> mit Hilfe
> der Methode der Neumannschen Reihe.
> Definiere [mm]T_k:C[0,1]\rightarrow C[0,1],~T_kx:=\int_0^1k(.,t)x(t)dt[/mm]
> mit [mm]k(s,t)=2st[/mm]. Dann ist mit [mm]y(s)=\sin \pi s[/mm]
> [mm](\text{Id} -T_k)x=y[/mm]
>
> Dann konvergiert doch die Neumannsche Reihe
> [mm](\text{Id}-T_k)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}T_k^n[/mm]
> falls [mm]||T_k||<1[/mm]. Allerdings ist hier doch
> [mm]||T_k||=\sup_s\int_0^1|k(s,t)|dt=\sup_s\int_0^1 |2st|dt=1[/mm]
>
> Gibt es noch andere Konvergenzkriterien außer der
> Operatornorm?
Ja , falls der Spektralradius [mm] r(T_k) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||T_k^n||^{1/n} [/mm] < 1 ist.
Hattet Ihr das schon ? Ist Dir bekannt, dass [mm] T_k [/mm] ein kompakter Operator ist ?
FRED
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Nein, Spektralradius hab ich noch nie gehört. Kompakt heißt, dass Bilder beschränkter Mengen kompakt sind?
Kann ich denn damit hier explizit den Grenzwert der Reihe ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Nein, Spektralradius hab ich noch nie gehört. Kompakt
> heißt, dass Bilder beschränkter Mengen kompakt sind?
>
Nein, relativ kompakt
> Kann ich denn damit hier explizit den Grenzwert der Reihe
> ausrechnen?
Ich muß mal über eine Methode nachdenken, da Dir der Spektralradius unbekannt ist
FRED
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