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Newton-V: Mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Sa 30.08.2014
Autor: ttl

Aufgabe
Wir betrachten die Funktion [mm] F:\IR^{2} \mapsto \IR^{2}, \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2}}. [/mm]

1. Geben Sie die Newton-Iterationsvorschrift [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \phi(x^{(k)}) [/mm] zum Lösen dieser Gleichung an.

2. Führen Sie zwei Iterationsschritte mit dem Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] durch.

Hi,

wenn man das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalem verwendet, macht man sich die Jacobi Matrix zu nutze. Dabei gehe ich wie in diesem []Wikipedia-Artikel beschrieben vor.

Die Gleichung lautet wie folgt:

[mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \phi(x^{(k)}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}} [/mm] - [mm] DF(x^{(k)})^{-1}\cdot F(x^{(k)}) [/mm]

wobei DF = [mm] \pmat{2x_{1} & -2x_{2} \\ 2x_{2} & 2x_{1}} [/mm]

Für DF mit dem Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] gilt: DF = [mm] \pmat{2 & -2 \\ 2 & 2}. [/mm] Die Inverse von DF ist
[mm] DF(x^{(0)})^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}} [/mm]

[mm] F(x^{(0)}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm]

=> [mm] DF^{-1}\cdot [/mm] F = [mm] \vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}} [/mm]
=> [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm]

Laut Musterlösung gilt nach dem ersten Iterationsvorschrift [mm] x^{(k+1)} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm]

Seht ihr den Fehler, also sprich habe ich etwas falsch gemacht oder habe ich mich sogar verrechnet. Denn ich sehe den Fehler nicht.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Gruß
ttl

        
Bezug
Newton-V: Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Sa 30.08.2014
Autor: MathePower

Hallo ttl,

> Wir betrachten die Funktion [mm]F:\IR^{2} \mapsto \IR^{2}, \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2}}.[/mm]
>  
> 1. Geben Sie die Newton-Iterationsvorschrift [mm]x^{(k+1)}[/mm] =
> [mm]\phi(x^{(k)})[/mm] zum Lösen dieser Gleichung an.
>  
> 2. Führen Sie zwei Iterationsschritte mit dem Startwert
> [mm]x^{(0)}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] durch.
>  Hi,
>  
> wenn man das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalem
> verwendet, macht man sich die Jacobi Matrix zu nutze. Dabei
> gehe ich wie in diesem
> []Wikipedia-Artikel
> beschrieben vor.
>  
> Die Gleichung lautet wie folgt:
>  
> [mm]x^{(k+1)}[/mm] = [mm]\phi(x^{(k)})[/mm] = [mm]\vektor{x_{1}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}}[/mm]
> - [mm]DF(x^{(k)})^{-1}\cdot F(x^{(k)})[/mm]
>  
> wobei DF = [mm]\pmat{2x_{1} & -2x_{2} \\ 2x_{2} & 2x_{1}}[/mm]
>  
> Für DF mit dem Startwert [mm]x^{(0)}[/mm] gilt: DF = [mm]\pmat{2 & -2 \\ 2 & 2}.[/mm]
> Die Inverse von DF ist
>  [mm]DF(x^{(0)})^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}}[/mm]
>  
> [mm]F(x^{(0)})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  
> => [mm]DF^{-1}\cdot[/mm] F = [mm]\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}}[/mm]
>  =>

> [mm]x^{(k+1)}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> Laut Musterlösung gilt nach dem ersten
> Iterationsvorschrift [mm]x^{(k+1)}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>


Dann ist die Musterlösung vielleicht
von einem anderen Startwert ausgegangen.


> Seht ihr den Fehler, also sprich habe ich etwas falsch
> gemacht oder habe ich mich sogar verrechnet. Denn ich sehe
> den Fehler nicht.
>  


Deine Berechnungen sind alle richtig.


> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen
> könnte.
>  
> Gruß
>  ttl


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Newton-V: Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Sa 30.08.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Ich sehe das anders als MathePower. Zunächst ist die Inverse
zu bilden und erst dann wird der Startvektor eingesetzt. Das
ist allerdings bei diesem Startvektor nicht möglich, da wir
im Nenner durch Null teilen würden.
Schreib dir das mal genau
auf. Erst die erste und dann die zweite Teilaufgabe.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Newton-V: Mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Sa 30.08.2014
Autor: ttl

Hi DieAcht,

wenn ich mir aber die Formel auf Wikipedia.de anschaue, sieht es eher danach aus, als müsse man zuerst den Startwert einsetzen und dann die Inverse bilden.

[mm] (J(x_{n}))^{-1} [/mm]   So steht es zumindest auf wikipedia

Gruß
ttl

Bezug
                        
Bezug
Newton-V: Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Sa 30.08.2014
Autor: DieAcht


> Hi DieAcht,
>  
> wenn ich mir aber die Formel auf Wikipedia.de anschaue,
> sieht es eher danach aus, als müsse man zuerst den
> Startwert einsetzen und dann die Inverse bilden.
>  
> [mm](J(x_{n}))^{-1}[/mm]   So steht es zumindest auf wikipedia

Ja, hierbei ist [mm] x_n [/mm] "allgemein". Das ist auch die Aufgabe 1).
Dann beginnst du bei [mm] x_0 [/mm] und links steht [mm] x_1. [/mm] Alles klar?

Bezug
                
Bezug
Newton-V: Mehrdimensional: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 21:13 Sa 30.08.2014
Autor: MathePower

Hallo DieAcht,


> Hallo,
>  
>
> Ich sehe das anders als MathePower. Zunächst ist die
> Inverse
>  zu bilden und erst dann wird der Startvektor eingesetzt.
> Das
>  ist allerdings bei diesem Startvektor nicht möglich, da
> wir
>  im Nenner durch Null teilen würden. Schreib dir das mal
> genau
>  auf. Erst die erste und dann die zweite Teilaufgabe.
>  
>


Die Jacobi-Matrix lautet:

[mm]\[\begin{pmatrix}2\,x1 & -2\,x2\cr 2\,x2 & 2\,x1\end{pmatrix}\][/mm]

Die Inverse davon:

[mm]\[\begin{pmatrix}\frac{2\,x1}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}} & \frac{2\,x2}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}}\cr -\frac{2\,x2}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}} & \frac{2\,x1}{4\,{x2}^{2}+4\,{x1}^{2}}\end{pmatrix}\][/mm]

Bei dem gegebenen Startvektor ist sehr wohl der Nenner von 0 verschieden.


> Gruß
>  DieAcht


Gruss
MathePower

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Bezug
Newton-V: Mehrdimensional: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 So 31.08.2014
Autor: weduwe

ich kann dein ergebnis (wie MP) auch nur bestätigen

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