Newton-Verfahren+Schnittpunkt < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Di 11.02.2014 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe | Gegeben seien die beiden Ellipsen [mm] x^2+4y^2=4 [/mm] und [mm] 4x^2+y^2=4
[/mm]
a) Skizzieren Sie die beiden Ellipsen und berechnen Sie die Schnittpunkte der Ellipsen exakt.
b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte numerisch mit Hilfe des Newton-Verfahrens. Schreiben Sie dazu die Schnittpunkte der Ellipsen als Nullstellen einer Funktion [mm] F(\vektor{x \\ y}). [/mm] Führen Sie einen Schritt des Newton-Verfahrens zum Startwert [mm] \vektor{x_0 \\ y_0}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] aus und geben Sie die Iterierte [mm] \vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] an. |
Hallo zusammen.
Da meine Numerik-Klausur ansteht, brauche ich mal ein wenig Hilfe bei der Aufgabe. a) habe ich lösen können, ich weiß aber nicht, ob das richtig ist. Als Schnittpunkte habe ich [mm] S_1=(\wurzel{12/15},4/5), S_2=(-\wurzel{12/15},4/5), S_3=(\wurzel{12/15},-4/5) [/mm] und [mm] S_4=(-\wurzel{12/15},-4/5). [/mm] Dazu habe ich die erste Gleichung nach y aufgelöst, mein y in die zweite Gleichung eingesetzt, den erhaltenen x Wert dann eingesetzt in die erste, um meinen y Wert herauszubekommen.
Jetzt versteh ich aber nicht, was ich bei b) machen muss. Wie das Newton-Verfahren funktioniert, das habe ich verstanden, aber ich verstehe nicht, was mit "Schreiben Sie dazu die Schnittpunkte der Ellipsen als Nullstellen einer Funktion [mm] F(\vektor{x \\ y}) [/mm] " gemeint ist... Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte :(
LG Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die beiden Ellipsen [mm]x^2+4y^2=4[/mm] und
> [mm]4x^2+y^2=4[/mm]
> a) Skizzieren Sie die beiden Ellipsen und berechnen Sie
> die Schnittpunkte der Ellipsen exakt.
> b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte numerisch mit Hilfe des
> Newton-Verfahrens. Schreiben Sie dazu die Schnittpunkte der
> Ellipsen als Nullstellen einer Funktion [mm]F(\vektor{x \\ y}).[/mm]
> Führen Sie einen Schritt des Newton-Verfahrens zum
> Startwert [mm]\vektor{x_0 \\ y_0}=\vektor{1 \\ 1}[/mm] aus und geben
> Sie die Iterierte [mm]\vektor{x_1 \\ y_1}[/mm] an.
> Hallo zusammen.
> Da meine Numerik-Klausur ansteht, brauche ich mal ein
> wenig Hilfe bei der Aufgabe. a) habe ich lösen können,
> ich weiß aber nicht, ob das richtig ist. Als Schnittpunkte
> habe ich [mm]S_1=(\wurzel{12/15},4/5), S_2=(-\wurzel{12/15},4/5), S_3=(\wurzel{12/15},-4/5)[/mm]
> und [mm]S_4=(-\wurzel{12/15},-4/5).[/mm]
Das stimmt nicht.
> Dazu habe ich die erste
> Gleichung nach y aufgelöst, mein y in die zweite Gleichung
> eingesetzt, den erhaltenen x Wert dann eingesetzt in die
> erste, um meinen y Wert herauszubekommen.
Dabei hast Du Dich verrechnet !
Nebenbei: 12/15=4/5
> Jetzt versteh ich aber nicht, was ich bei b) machen muss.
> Wie das Newton-Verfahren funktioniert, das habe ich
> verstanden, aber ich verstehe nicht, was mit "Schreiben Sie
> dazu die Schnittpunkte der Ellipsen als Nullstellen einer
> Funktion [mm]F(\vektor{x \\ y})[/mm] " gemeint ist... Würde mich
> freuen, wenn mir da jemand helfen könnte :(
Setze $ [mm] F(\vektor{x \\ y}):= \vektor{x^2+4y^2-4\\ 4x^2+y^2-4}$
[/mm]
FRED
>
> LG Sam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Sam90 |
Okay ich hab das nochmal durchgerechnet und bin bei a) auf die Schnittpunkte [mm] S_1=(\wurzel{4/5},\wurzel{4/5}), S_2=(-\wurzel{4/5},\wurzel{4/5}), S_3=(\wurzel{4/5},-\wurzel{4/5}) [/mm] und [mm] S_4=(-\wurzel{4/5},-\wurzel{4/5}) [/mm] gekommen.
Bei b) habe ich dann erstmal für [mm] F(\vektor{x \\ y}):= \vektor{x^2+4y^2-4\\ 4x^2+y^2-4} [/mm] die Jakobimatrix aufgestellt : [mm] J(x_n)=\pmat{ 2x & 8y \\ 8x & 2y }. [/mm] Das hab ich eingesetzt in [mm] J(x_0)*\vec{z}=-F(x_0), [/mm] also
[mm] \pmat{ 2 & 8 \\ 8 & 2 }*\vec{z}=-\vektor{1 \\ 1}. [/mm] Dann erhalte ich für [mm] z_1=z_2=-1/10. [/mm] Somit habe ich dann für [mm] x_1=x_0+z=\vektor{1 \\ 1}-\vektor{1/10 \\ 1/10}=\vektor{9/10 \\ 9/10}.
[/mm]
Ist das so richtig?
LG Sam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay ich hab das nochmal durchgerechnet und bin bei a) auf
> die Schnittpunkte [mm]S_1=(\wurzel{4/5},\wurzel{4/5}), S_2=(-\wurzel{4/5},\wurzel{4/5}), S_3=(\wurzel{4/5},-\wurzel{4/5})[/mm]
> und [mm]S_4=(-\wurzel{4/5},-\wurzel{4/5})[/mm] gekommen.
Jetzt stimmts. Es ist [mm] \wurzel{4}=2.
[/mm]
>
> Bei b) habe ich dann erstmal für [mm]F(\vektor{x \\ y}):= \vektor{x^2+4y^2-4\\ 4x^2+y^2-4}[/mm]
> die Jakobimatrix aufgestellt : [mm]J(x_n)=\pmat{ 2x & 8y \\ 8x & 2y }.[/mm]
> Das hab ich eingesetzt in [mm]J(x_0)*\vec{z}=-F(x_0),[/mm] also
> [mm]\pmat{ 2 & 8 \\ 8 & 2 }*\vec{z}=-\vektor{1 \\ 1}.[/mm] Dann
> erhalte ich für [mm]z_1=z_2=-1/10.[/mm] Somit habe ich dann für
> [mm]x_1=x_0+z=\vektor{1 \\ 1}-\vektor{1/10 \\ 1/10}=\vektor{9/10 \\ 9/10}.[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja
FRED
>
> LG Sam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Sam90 |
Super, vielen Dank!
Mache ich das bei 3 Variablen dann genauso?
Ich hab nämlich noch ne Aufgabe mit den Ellipsoiden [mm] x^2+9y^2=9, 9y^2+z^2=9, [/mm] der Einheitssphäre [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] und mit dem Startvektor [mm] \vektor{x_0 \\ y_0 \\ z_0}=\vektor{2 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Dann ist [mm] F(\vektor{x \\ y \\ z}):= \vektor{x^2+9y^2-9 \\ 9y^2+z^2-9 \\ x^2+y^2+z^2-1}, [/mm] also [mm] J\vektor{x \\ y \\ z}=\pmat{ 2x & 18y & 0 \\ 0 & 18y & 2z \\ 2x & 2y & 2z }. [/mm] Eingesetzt wäre das dann:
[mm] \pmat{ 4 & 18 & 0 \\ 0 & 18 & 4 \\ 4 & 2 & 4 }*\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}=\vektor{-4 \\ -4 \\ 8}. [/mm] Dann erhalte ich für [mm] a_1=-1, a_2=0 [/mm] und [mm] a_3=-1
[/mm]
und somit [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}=\vektor{4 \\ 4 \\ 8}+\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}.
[/mm]
Irgendwie kommt mir das Ergebnis aber komisch vor... Kann das sein?
LG Sam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Super, vielen Dank!
>
> Mache ich das bei 3 Variablen dann genauso?
> Ich hab nämlich noch ne Aufgabe mit den Ellipsoiden
> [mm]x^2+9y^2=9, 9y^2+z^2=9,[/mm] der Einheitssphäre [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
> und mit dem Startvektor [mm]\vektor{x_0 \\ y_0 \\ z_0}=\vektor{2 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]F(\vektor{x \\ y \\ z}):= \vektor{x^2+9y^2-9 \\ 9y^2+z^2-9 \\ x^2+y^2+z^2-1},[/mm]
> also [mm]J\vektor{x \\ y \\ z}=\pmat{ 2x & 18y & 0 \\ 0 & 18y & 2z \\ 2x & 2y & 2z }.[/mm]
> Eingesetzt wäre das dann:
> [mm]\pmat{ 4 & 18 & 0 \\ 0 & 18 & 4 \\ 4 & 2 & 4 }*\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}=\vektor{-4 \\ -4 \\ 8}.[/mm]
> Dann erhalte ich für [mm]a_1=-1, a_2=0[/mm] und [mm]a_3=-1[/mm]
> und somit [mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}=\vektor{4 \\ 4 \\ 8}+\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}.[/mm]
>
> Irgendwie kommt mir das Ergebnis aber komisch vor... Kann
> das sein?
Der Startvektor war aber nicht [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 8} [/mm] ....
FRED
>
> LG Sam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Sam90 |
Stimmt! Das müsste dann also [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}=\vektor{2 \\ 1 \\ 2}+\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}. [/mm] Das finde ich schon besser :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt! Das müsste dann also [mm]\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}=\vektor{2 \\ 1 \\ 2}+\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}.[/mm]
> Das finde ich schon besser :)
Ich auch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Sam90 |
Dann 1000 Dank für deine schnellen Antworten! :)
LG Sam
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