Newton-Verfahren < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionen f(x)= [mm] 2^x [/mm] und g(x)=3+ e^-2x mit dem Newton-Verfahren (3 Ilerationsschritte) ausgehend von x0= 3. |
Ich hatte das Newton-Verfahren gar nicht in der Schule und eigentlich löst man solche Aufgaben ja auch durch gleichsetzen. Habe mich aber mal etwas umgeschaut und folgendes dazu gefunden:
f(x)-g(x)= 0
[mm] 2^x [/mm] - 3+e^(-2x)
Ab hier weiß ich jetzt nicht so wirklich was man machen soll. Mein Taschenrechner kann dazu wohl irgendwie auch nix und da ich morgen eine Prüfung schreibe, in die wir Unterlagen mitnehmen dürfen, würde ich mir gerne ne Beispielaufgabe wie diese, mit Weg notieren. An einem praktischen Beispiel verstehe ich Sachen leichter. Dieses theoretische Mathe verstehe ich leider immer gar nicht. Weswegen mir die Mathevorlesungen in der Uni auch wirklich nix gebracht haben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen so eine Anleitung für dieses Verfahren zu erstellen.
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Hallo Julia031988,
> Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionen f(x)=
> [mm]2^x[/mm] und g(x)=3+ e^-2x mit dem Newton-Verfahren (3
> Ilerationsschritte) ausgehend von x0= 3.
> Ich hatte das Newton-Verfahren gar nicht in der Schule und
> eigentlich löst man solche Aufgaben ja auch durch
> gleichsetzen. Habe mich aber mal etwas umgeschaut und
> folgendes dazu gefunden:
>
> f(x)-g(x)= 0
>
> [mm]2^x[/mm] - 3+e^(-2x)
>
> Ab hier weiß ich jetzt nicht so wirklich was man machen
> soll. Mein Taschenrechner kann dazu wohl irgendwie auch nix
> und da ich morgen eine Prüfung schreibe, in die wir
> Unterlagen mitnehmen dürfen, würde ich mir gerne ne
> Beispielaufgabe wie diese, mit Weg notieren. An einem
> praktischen Beispiel verstehe ich Sachen leichter. Dieses
> theoretische Mathe verstehe ich leider immer gar nicht.
> Weswegen mir die Mathevorlesungen in der Uni auch wirklich
> nix gebracht haben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen so eine
> Anleitung für dieses Verfahren zu erstellen.
>
Das Newtonverfahren basiert darauf, das man
die Tangente an der Stelle des Näherungswertes bildet,
und dessen Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmt wird.
Bsp.
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung [mm]h\left(x\right)=0[/mm]
wobei [mm]x_{0}[/mm] der Startwert ist.
Zunächst wird die Tangente gebildet: [mm]y=h'\left(x_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+h\left(x_{0}\right)[/mm]
Diese Tangente wird nun zum Schnitt mit der x-Achse gebracht:
[mm]0=h'\left(x_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+h\left(x_{0}\right)[/mm]
Das ergibt den neuen Schnittpunkt [mm]x_{1}[/mm]
[mm]x_{1}=x_{0}-\bruch{h\left(x_{0}\right)}{h'\left(x_{0}\right)}[/mm]
Dies ist auch gleichzeitig der neue Näherungswert für die Lösung.
Gruss
MathePower
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3- [mm] \bruch{2^x -3+e^(-2x)}{In(2)*2^x-2*e^(-2x)}
[/mm]
Das wäre dann doch sozusagen die Umsetzung der Formel für diiese Aufgabe oder?
Und jetzt einfach ausrechnen?
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Hallo Julia031988,
> 3- [mm]\bruch{2^x -3+e^(-2x)}{In(2)*2^x-2*e^(-2x)}[/mm]
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> Das wäre dann doch sozusagen die Umsetzung der Formel für
> diese Aufgabe oder?
So wie das jetzt das steht, gilt das nur für den ersten Iterationschritt.
Besser ist:
[mm]\blue{x}-\bruch{2^x -3+e^{-2x}}{\ln(2)*2^x-2*e^{-2x}}[/mm]
> Und jetzt einfach ausrechnen?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
hmm also wenn ich 3 nicht für x einsetzen soll, soll ich dann einfach mit x das erstmal ausrechnen. mir ist jetzt nicht ganz klar wie das weiter ablaufen soll.
Also wenn ich das so normal ausrechne gubt mir der Taschenrechner folgendes:
[mm] \bruch{3*In(2)*e^(-2x)-In(2)-2}{In(2)*(In(2)*e^((In(2)+2)*x)-2}+x-\bruch{1}{In(2)}
[/mm]
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Hallo Julia031988,
> siehe anfang der frage
> hmm also wenn ich 3 nicht für x einsetzen soll, soll ich
> dann einfach mit x das erstmal ausrechnen. mir ist jetzt
> nicht ganz klar wie das weiter ablaufen soll.
Weshalb ich die 3 durch ein x ersetzt habe, hat den Grund,
daß Du dann die Formel immer wieder verwenden kannst.
> Also wenn ich das so normal ausrechne gubt mir der
> Taschenrechner folgendes:
> [mm]\bruch{3*In(2)*e^(-2x)-In(2)-2}{In(2)*(In(2)*e^((In(2)+2)*x)-2}+x-\bruch{1}{In(2)}[/mm]
>
Habe ich jetzt net nachgerechnet.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ja aber ich verstehe jetzt nicht,was ich weiter mit diesr formel machen soll. also soll ich jetzt immer andere x-werte einsetzen und wenn ja wie lange oder worauf soll ich da jetzt achten. ich habe sowas noch nie gemacht...
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Hallo Julia031988,
> siehe anfang der frage
> ja aber ich verstehe jetzt nicht,was ich weiter mit diesr
> formel machen soll. also soll ich jetzt immer andere
> x-werte einsetzen und wenn ja wie lange oder worauf soll
> ich da jetzt achten. ich habe sowas noch nie gemacht...
Setze zuerst x=3 ein, dann erhältst Du
gemäß der Formel einen neuen x-Wert, [mm]x_{1}[/mm].
Diesen neuen x-Wert setzt Du wieder in die Formel ein.
und erhältst wiederum einen anderen x-Wert.
Das geht so weiter, bis Du 3 Iterationschritte gemacht hast.
Gruss
MathePower
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