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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 11.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
| Aufgabe | Sei $f:[a,b] [mm] \rightarrow \R$ [/mm] eine zwei mal stetig diffbare Fkt. mit $f'(x)>0$ sowie
[mm] $f''(x)\leq [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$. Weiter gelte $f(a)<0<f(b)$ und [mm] $b-\frac{f(b)}{f'(b)}\geq [/mm] a$. |
Hi.
Ich will zeigen, dass das Newtonverfahren gegen die die eindeutige Nullstelle konvergiert.
Ich habe es zuerst über die Fixpunktgleichung probiert, also diese abgeleitet und versucht zu zeigen, dass die immer kleiner 1 ist.
Hat aber nicht geklappt(das sie kleiner 1 ist).
Ich habe auch keine weitere Idee.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 11.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
meine Idee Anfangspkt [mm] x_0, [/mm] Nullstelle bei x=c
falls [mm] f(x_0)>0 [/mm] folgt x1<c
deshalb ohne Einschränkung, [mm] x_n< [/mm] c.
zeige [mm] x_n [/mm] monoton wachsend und beschränkt. (durch c)
(falls das mit der Ableitung klappen sollte gilt es auch nur für [mm] x_n
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 11.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
Danke für die Antwort. Monotonie und Beschränktheit kann ich soweit zeigen. Leider aber nicht, dass gilt: falls $ [mm] f(x_0)>0 [/mm] $ folgt [mm] $x_1
Vllt noch einen kleinen Tipp...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 11.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ne fkt mitf''<0 zeichnest, siehst dus: die Steigung der Tangente ist kleiner, als die Steigung der Sehne zw.c und [mm] x_o [/mm]
also [mm] f'(x_0)f'(x_0)*(x_0-c) [/mm]
einsetzen in [mm] x_1= [/mm]
(beim Newtonverfahren hilft ne Skizze oft, das Verhalten zu sehen.)
Gruss leduart
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