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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Fr 05.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo,
die Newton-Methode ist laut mein Script folgender Maßen definiert:
[mm] x_{n+1}=g(x_n) [/mm] mit g(x)=x- [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
nun ich habe auf diversen Webseiten gelesen, dass die Newtonmethode die Konvergenzordnung zwei besitzt. Deshalb bin ich mir nicht sicher ob ich den Stoff richtig verstanden habe und frage euch ob das Verfahren nicht mindestens die Konvergenzordnung zwei besitzt. Da die Konvergenzordnung von der Differenzierbarkeit der Funktion f(x) abhängig ist. Weil wenn die [mm] f^{p}(x) [/mm] ungleich Null ist, dann gilt doch folgendes
sei [mm] e_n [/mm] der Fehler der n-ten Iteration und f(x) p-mal diffenrezierbar und [mm] f^{p}(x)\not=0 [/mm] d.h
[mm] e_n=x_n-x* [/mm] und [mm] E_n=|e_n| [/mm] und [mm] g(x_n)-g(x*)=1/p!g^{p}(\epsilon_n)(x_n-x*)^p [/mm] für [mm] \epsilon_n \in [x*,x_n]
[/mm]
dann gilt doch folgendes
[mm] E_{n+1}=|x_{n+1}-x*|=|g(x_n)-g(x*)|= 1/p!|g^{p}(\epsilon_n)||(x_n-x*)|^p
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{E_{n+1}}{E_{n}^p} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{p!}|g^p(x*)|\not= [/mm] 0
und dass ist doch gerade Konvergenzordnung p
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Hallo,
du hast recht. Nimm doch mal die Nullstellen-Iteration für f(x)=sin(x) .
Der Newton-Raphson Algorithmus gibt dir dann [mm] x_{n+1}=x_{n}-tan(x_{n}) [/mm] . Du kannst durch einfaches ableiten und einsetzen ganz einfach herausfidnden, dass dieses Die ordnung 3 besitzen muss.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 05.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo du sagst das meine Aussage stimmt,
wieso hat dann das Newtonverfahren für folgende Funktion die Konvergenzordnung 1, obwohl diese Funktion dreimal differenzierbar ist.
[mm] f(x)=x^3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Fr 05.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
ich habe mich mit meiner antwort auf die tatsache bezogen, dass es auch höhrere konvergenzordnungen gibt.
entchuldige, wenn ich etwas unpräzise war.
lg
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> Hallo du sagst das meine Aussage stimmt,
>
> wieso hat dann das Newtonverfahren für folgende Funktion
> die Konvergenzordnung 1, obwohl diese Funktion dreimal
> differenzierbar ist.
>
> [mm]f(x)=x^3[/mm]
Das liegt an der Vielfachheit m = 3 der Nullstelle.
Mit dem modifizierten Newtonverfahren [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] m*\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
[/mm]
hast du dann wieder p> 1
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 05.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo,
ich verstehe nicht was du unter Vielfachheit der Nullstelle verstehst und bin jetzt ganz durcheinander. Welche Rolle hat den nun die Differenzierbarkeit bei Newton
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> Hallo,
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> ich verstehe nicht was du unter Vielfachheit der Nullstelle
> verstehst und bin jetzt ganz durcheinander. Welche Rolle
> hat den nun die Differenzierbarkeit bei Newton
f(x) = [mm] x^3 [/mm] hat doch als 3-fache Lösung x = 0 oder nicht?
Wenn du jetzt Newton anwendest strebt die Näherung gegen einen 3 -fachen Punkt, damit ist die Konvergenzordnung kleiner!
[mm] g'(x\*) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{m} \not= [/mm] 0
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