Newton mit inverser Jacobimatr < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mo 04.02.2008 | | Autor: | loop26 |
| Aufgabe | [mm] 3x^2-y^2=0
[/mm]
[mm] 3xy^2-x^3=1
[/mm]
a)zeige dass x=0.6, y=0.8 grobe Näherungen sind
b)verbessere Näherung 1x mit geeignetem Verfahren |
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen. Die Vorgabe ist dass es mit Newton bzw. mit Hilfe der inversen Jacobimatrix gelöst werden muss.
Meine Vorgehensweise bis jetzt: auf F(x)=0 formen
[mm] F{x\choose y}={3x^2-y^2 \choose 3xy^2-x^3-1} [/mm]
(das x vorne bei F muss auch in die Klammern rein, geht aber irgendwie nicht!)
So, nun kommt die Vorgabe
X_neu = X_alt - F'(X_alt)^-1 F(X_alt)
Also ist dieses F'(X_alt) die sogenannte Jacobimatrix die zu berechnen ist.
Sieht bei mir dann so aus: [mm] x=x_1, y=x_2
[/mm]
F'(X_alt)= [mm] \begin{pmatrix}
\frac{\partial F1}{x_1} & \frac{\partial F1}{x_2} \\
\frac{\partial F2}{x_1} & \frac{\partial F2}{x_2}
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
6x_1 & -2x_2 \\
3x_2^2-3x_1^2 & 6x_1x_2
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun weiss ich nicht mehr wie es weiter geht. Wie soll ich diese Matrix jetzt in die Vorgabeformel von oben einbinden?
Muss erstmal die inverse von der Jacobi bilden oder? Hat jemand schon so etwas gemacht?
Bin für jeden Tipp dankbar!
Cheers,
loop26
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ullim |
> [mm]3x^2-y^2=0[/mm]
> [mm]3xy^2-x^3=1[/mm]
>
> a)zeige dass x=0.6, y=0.8 grobe Näherungen sind
> b)verbessere Näherung 1x mit geeignetem Verfahren
> Hallo zusammen,
>
> ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen. Die Vorgabe
> ist dass es mit Newton bzw. mit Hilfe der inversen
> Jacobimatrix gelöst werden muss.
>
> Meine Vorgehensweise bis jetzt: auf F(x)=0 formen
>
> [mm]F{x\choose y}={3x^2-y^2 \choose 3xy^2-x^3-1}[/mm]
> (das x vorne bei F muss auch in die Klammern rein, geht
> aber irgendwie nicht!)
>
> So, nun kommt die Vorgabe
> X_neu = X_alt - F'(X_alt)^-1 F(X_alt)
>
> Also ist dieses F'(X_alt) die sogenannte Jacobimatrix die
> zu berechnen ist.
>
> Sieht bei mir dann so aus: [mm]x=x_1, y=x_2[/mm]
>
> F'(X_alt)= [mm]\begin{pmatrix}
\frac{\partial F1}{x_1} & \frac{\partial F1}{x_2} \\
\frac{\partial F2}{x_1} & \frac{\partial F2}{x_2}
\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}
6x_1 & -2x_2 \\
3x_2^2-3x_1^2 & 6x_1x_2
\end{pmatrix}[/mm]
>
Die Matrix F' musst Du invertieren und noch Startwerte für die Iteration vorgeben.
Z.B. [mm] X_{alt}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und dann die Iteration durchführen.
> Nun weiss ich nicht mehr wie es weiter geht. Wie soll ich
> diese Matrix jetzt in die Vorgabeformel von oben einbinden?
> Muss erstmal die inverse von der Jacobi bilden oder? Hat
> jemand schon so etwas gemacht?
>
> Bin für jeden Tipp dankbar!
>
> Cheers,
> loop26
>
>
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 04.02.2008 | | Autor: | loop26 |
Hallo ullim, danke für die Antwort.
Woher weiss ich welches [mm] x_0 [/mm] bzw. [mm] X_{alt} [/mm] ich nehme? Also angenommen ich nehme jetzt hier das [mm] {1\choose 1}
[/mm]
das hätte ich so etwas:
[mm] X_{neu} [/mm] = [mm] {1\choose 1} [/mm] - [mm] F'(X_{alt)}^-1 {2\choose 1}
[/mm]
(hier bin ich mir nicht sicher ob das [mm] F(X_{alt}) [/mm] stimmt)
und dann noch die invertierte Jacobimatrix eingesetzt:
[mm] X_{neu} [/mm] = [mm] {1\choose 1} [/mm] - [mm] \frac{1}{(6x_1 6x_1x_2)+(2x_2(3x_2^2-3x_1^2))}$ \begin{pmatrix} 6x_1x_2 & 2x_2 \\ -3x_2^2-3x_1^2 & 6x_1 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] {2\choose 1}
[/mm]
So, nun komm ich hier durcheinander; wie kann man das alles auflösen oder gibt es einen einfacheren Weg?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Woher weiss ich welches [mm]x_0[/mm] bzw. [mm]X_{alt}[/mm] ich nehme? Also
> angenommen ich nehme jetzt hier das [mm]{1\choose 1}[/mm]
>
Der Startwert muss im Prinzip schon hinreichend nahe der gesuchten Lösung gewählt werden. Dazu lohnt es sich schon mal eine Skizze anzufertigen. Es gibt ohne weiteres Startwerte, für das Verfahren nicht konvergiert.
> das hätte ich so etwas:
>
> [mm] X_{neu} [/mm] = [mm] {1\choose 1} [/mm] - [mm] {F'(X_{alt})}^{-1} {2\choose 1}
[/mm]
> (hier bin ich mir nicht sicher ob das [mm]F(X_{alt})[/mm] stimmt)
>
> und dann noch die invertierte Jacobimatrix eingesetzt:
> [mm]X_{neu}[/mm] = [mm]{1\choose 1}[/mm] - [mm]\frac{1}{(6x_16x_1x_2)+(2x_2(3x_2^2-3x_1^2))}[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 6x_1x_2 & 2x_2 \\ -3x_2^2-3x_1^2 & 6x_1 \end{pmatrix}[/mm] [mm]{2\choose 1}[/mm]
>
>
> So, nun komm ich hier durcheinander; wie kann man das alles
> auflösen oder gibt es einen einfacheren Weg?
>
Das [mm] X_{neu} [/mm] kannst Du ausrechnen und im nächsten Schritt ersetzt Du [mm] X_{alt} [/mm] durch [mm] X_{neu} [/mm] und führst die gleiche Rechnung mit den geänderten Werten nochmals aus, und zwar solange, bis sich [mm] X_{neu} [/mm] und [mm] X_{alt} [/mm] sich nicht mehr viel unterscheiden. Damit konvergiert dann das Verfahren gegen die Lösung. Beachte aber,
[mm] {2\choose 1}=F(X_{alt}), [/mm] d.h. auch hier muss [mm] X_{alt} [/mm] durch [mm] X_{neu} [/mm] ersetzt werden.
mfg ullim
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Mo 04.02.2008 | | Autor: | loop26 |
Hi,
soweit ist es klar. Nun um dieses [mm] X_{neu} [/mm] muss ich die Werte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] wissen. Sind es dann im ersten Schritt die Werte aus [mm] x_0 [/mm] ? Und als Ergebnis soll dann auch ein Vektor rauskommen oder?
Vielen Dank für Deine Antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 06.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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