Newtonsche Interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Di 03.03.2009 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | Man berechne die Dichte des Wassers bei 37°C wenn die folgenden Wertepaare für die Temperatur t (in °C) und die Dichte p bekannt sind:
t/p
20/0,99823
30/0,99567
40/0,99224
50/0,98807
60/0,98324
70/0,97781 |
Habe keine Ahnung wie das nun funktioniert, bin völlig verzweifelt, da ich nur in der Formelsammlung einen Ansatz habe, den ich aber überhaupt nicht verstehe keine Ahnung wie das funktionieren soll?
"Gegeben seien die Werte [mm] f(x_i) [/mm] , i=0,1,2 ...,n einer Funktion f. Gesucht ist ein Polynom [mm] P_n(x) [/mm] von höchstens n-tem Grad mit [mm] P_n(x_i)=f(x_i) [/mm] für i=0,1,...n
Ansatz: [mm] A_0 [/mm] + [mm] A_1(x-x_0)+A_2(x-x_1)(x-x_0)+ A_3 (x-x_2)(x-x_1)(x-x_0) [/mm] .....usw
Durch einsetzen von x, werden die Koeffizienten [mm] A_n [/mm] bestimmt, dass [mm] P_n(x_i)=f(x_i) [/mm] für i=0,1,2,...n gilt. "
Kann mir das wer übersetzen? Habe Mathematik im naturwissenschaftlichen Hauptstudium als Nebenfach 2Semester. Bin am überlegen mein geliebtes Studium wegen Mathe aufzugeben, echt ich könnte heulen :( ...
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Hallo newday,
das sieht mir nicht so aus, als solltest Du die Tabelle mit einer Newton-Interpolation bearbeiten. Viel zu anstrengend... Mathe soll doch das Leben leichter machen und nicht komplizierter. 
Was weißt Du denn über den Zusammenhang von p und T?
In der Thermodynamik gibts für Gase doch eine Gleichung, wo sich p,v,T und [mm] \rho [/mm] begegnen. Wie ist das bei Flüssigkeiten?
Die Aufgabe setzt m.E. nicht unbedingt voraus, dass es hier Messfehler gibt, so dass wohl auch statistische Methoden ausscheiden.
Zeichne Dir die Wertepaare mal in ein Diagramm. Dann kommst Du ziemlich sicher schnell darauf, um was für eine Art von Kurve es sich hier handelt. Sie hängt von wenigen Parametern ab, die musst Du bestimmen, und dann hast Du eine Formel, in die Du die Temperatur (37°C) einsetzen kannst und die gesuchte Dichte erhältst.
Gib nicht so schnell auf. Wenn Du Dein Fach liebst, musst Du es ja nicht wegen Mathe hinschmeißen. Du schaffst das schon. Es gibt auch im Bereich Grundstudium Leute, die einem Hilfestellungen geben.
Zum Beispiel hier.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Di 03.03.2009 | | Autor: | newday |
Der Hinweis darunter "Man ermittle den gesuchten Funktionswert für p bei 37°C näherungsweise mit Hilfe der Newton'schen Interpolationsformel"
sonst würde ich ja gar nicht auf solche Ideen kommen, es soll ja anstrengend sein :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 03.03.2009 | | Autor: | newday |
Hab das ganze mal gezeichnet, sehe nichts besonderes, eine Funktion die mit steigender Temperatur abfällt, ist ja klar da man in richtung "Siedepunkt" geht und somit immer weiter die Dichte fällt bis man mal die jeweiligen Kräfte überwunden hat und in die gasphase über geht... Ideales Gasgesetz kenn ich natürlich p*V=nRT nur bei Flüssigkeiten ist mir das nicht geläufig?
Danke für die netten Worte, ich bin echt knapp vorm aufgeben, da ich mit dieser Mathematik nicht zu recht komme, verstehe ja nicht mal die sogenannten Anleitungen der Formelsammlung die ja angeblich alles beschreiben, nur ich verstehe sozusagen Bahnhof....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mi 04.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ich rechne Dir mal den Anfang vor.
Das dauert wegen der Schreibarbeit ein bisschen.
Ich fange aber jetzt an.
Wenns nicht dringend ist, dann geh ruhig schon schlafen.
Bis denn
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Mi 04.03.2009 | | Autor: | newday |
Das ist sehr nett, aber du musst nicht ewig lang für mich rechnen, wäre irgendwie zu viel verlangt....
Vielleicht kann man kurz den Ansatz erläutern? wie komm ich auf die A's??
[mm] x_o [/mm] bis [mm] x_5 [/mm] sind meine Temperaturwert, gut nur wie geht das dann weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Mi 04.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht hilft dir das ausgefuehrte Beispiel hier:
![[]](/images/popup.gif) klick
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Mi 04.03.2009 | | Autor: | newday |
[mm] P_n(x_0)=f(x_0)
[/mm]
[mm] P_n(x_0)=A_0
[/mm]
[mm] A_0=f(x_0)
[/mm]
[mm] A_0=0,99823
[/mm]
[mm] P_n(x_1)=A_0+A_1 (x_1-x_0) [/mm] ?
[mm] f(x_1)=A_0+A_1(30-20)?
[/mm]
[mm] A_1=-0,89866 [/mm] ?
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Hallo newday,
"Gegeben seien die Werte $ [mm] f(x_i) [/mm] $ , i=0,1,2 ...,n einer Funktion f. Gesucht ist ein Polynom $ [mm] P_n(x) [/mm] $ von höchstens n-tem Grad mit $ [mm] P_n(x_i)=f(x_i) [/mm] $ für i=0,1,...n
Ansatz: $ [mm] A_0 [/mm] $ + $ [mm] A_1(x-x_0)+A_2(x-x_1)(x-x_0)+ A_3 (x-x_2)(x-x_1)(x-x_0) [/mm] $ .....usw
Durch einsetzen von x, werden die Koeffizienten $ [mm] A_n [/mm] $ bestimmt, dass $ [mm] P_n(x_i)=f(x_i) [/mm] $ für i=0,1,2,...n gilt. "
Soweit die Anleitung.
Du hast sechs Paare von Werten gegeben, also von i=0...5.
Gesucht ist also ein Polynom von höchstens Grad 5.
Es soll den Druck p als Funktion der Temperatur T angeben.
In den Ansatz setze ich die bekannten Temperaturen gleich mit ein:
edit: Achtung - Fehler im Ansatz korrigiert, Term mit [mm] \red{A_6} [/mm] war zuviel!
[mm] A_0+A_1(T-20)+A_2(T-30)(T-20)+A_3(T-40)(T-30)(T-20)+A_4(T-50)(T-40)(T-30)(T-20)+
[/mm]
[mm] +A_5(T-60)(T-50)(T-40)(T-30)(T-20)
[/mm]
Das sieht nun ungemütlich aus. Ich würde auch lieber sukzessive ausklammern und es wie folgt schreiben:
[mm] p(T)=A_0+\blue{(T-20)}(A_1+\blue{(T-30)}(A_2+\blue{(T-40)}(A_3+\blue{(T-50)}(A_4+\blue{(T-60)}A_5))))
[/mm]
Mach Dir erstmal klar, warum das genau das gleiche ist wie oben.
So kompliziert der Ansatz für die Newton-Interpolation scheint, so praktisch ist er nun zu rechnen. Man setzt nacheinander für T gerade die gegebenen Werte ein.
für T=20 bleibt nun nur [mm] p(20)=\green{A_0=0,99823} [/mm] und der Rest fällt weg!
für T=30 bleibt [mm] p(30)=A_0+\blue{(30-20)}A_1=0,99567 [/mm]
und also [mm] 10A_1=0,99567-0,99823\quad \Rightarrow \green{A_1=-0,000256}
[/mm]
für T=40 bleibt [mm] p(40)=A_0+\blue{(40-20)}(A_1+\blue{(40-30)}A_2=0,99224
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0,99823+20*(-0,000256+10A_2)=0,99224
[/mm]
[mm] \Rightarrow A_2=\bruch{1}{10}\left(\bruch{0,99224-0,99823}{20}+0,000256\right)
[/mm]
also [mm] \green{A_2\approx-0,00000435}
[/mm]
und so weiter...
Die nächsten drei Werte machen mehr Arbeit, aber Du siehst bestimmt, wie es geht. Außerdem werden die weiteren [mm] A_i [/mm] schnell immer kleiner werden. Du kannst schon jetzt relativ genau den gesuchten Druck ausrechnen, wenn Du [mm] A_3, A_4 [/mm] und [mm] A_5 [/mm] einfach 0 setzt und in die Gleichung T=37 einsetzt. Auch das ist übrigens der häufigste Ausgang des Verfahrens: man kann es oft schon früh abbrechen, allerdings mit ein bisschen Vorsicht und einem möglichst erfahrenen Blick auf die außer Acht gelassenen Werte. Du weißt wahrscheinlich aus Fehlerabschätzungen, dass sich in solchen Rechnungen kleine Abweichungen leicht aufschaukeln können.
Verlangt wird aber bestimmt, dass Du trotzdem und sicherheitshalber die restlichen drei Koeffizienten bestimmst (so sinnloser das eigentlich mit jedem weiteren wird).
Der Vorteil der Newton-Interpolation ist, dass man kein Gleichungssystem zu lösen hat, sondern in jedem Schritt nur einen weiteren Koeffizienten bestimmt, und alle, die man dafür voraussetzen muss, auch schon bekannt sind. Das ist ziemlich genial konstruiert.
Jetzt klarer?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Mi 04.03.2009 | | Autor: | newday |
Ein bisschen klarer ist es geworden, also dieser geklammerte ausdruck, da hab ich auch mal 10min, hinschauen müssen damit ich erkannt habe wie das in etwa funktioniert....Dann wird am schluss [mm] p(37)=A_0+A_1+A_2+ [/mm] ...... das Ergebnis?
Total verrückter Ansatz auf den ich nie gekommen wäre und so richtig verstehen wie Newton das erkannt hat tu ich auch nicht, naja stures einsetzten würd ich dann doch noch schaffen, nur reichen wird das eben nicht...
danke aufjedenfall für deine mühen, ich denke bei mir ist hopfen und malz verloren wie man so schön sagt, hab wohl nicht diese ominöse Mathe-Logik-Gedächnis... in der Schule hatte ich ja nie Mathe Probleme (immer so um die 2) aber mit der Unimathe komm ich nicht klar, bin wohl oder übel doch zu "dumm" für sowas, auch wenns entäuschend klingt aber man muss sich nunmal mit der Wahrheit abfinden, egal wie lang ich an dem Beispiel sitze ich verstehe den Hintergedanken ja doch nicht, überhaupt keine Ahnung wie und anscheinend kann einen dabei auch niemand helfen... also nun einfach pech gehabt...
So genug gejammert für heute, danke für deine Bemühungen echt nett von dir mir zu helfen nur so richtig komm ich noch immer nicht dahinter. Ich leg mich jetzt mal schlafen und schau ob ich das morgen besser verstehe...(oder die uni vergesse und mir einen unterbezahlten job suche :) daweil hätt ich in den anderen fächern ja kaum probleme *arg*)
lg
Newday
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> Ein bisschen klarer ist es geworden, also dieser
> geklammerte ausdruck, da hab ich auch mal 10min, hinschauen
> müssen damit ich erkannt habe wie das in etwa
> funktioniert....Dann wird am schluss [mm]p(37)=A_0+A_1+A_2+[/mm]
> ...... das Ergebnis?
Hallo,
nein.
Ich mache das mal mit dem unausgeklammerten Ausdruck, weil der andere zwar zum Rechnen besser ist, aber zum Verstehen ist für mich der dieser besser.
Wenn Du fleißg gerechnet hast, hast Du am Ende die Koeffizienten [mm] A_0,..., A_5 [/mm] für Dein Polynom 5.Grades. Es stehen an dieser Stelle in dem langen Ausdruck
p(T)=$ [mm] A_0+A_1(T-20)+A_2(T-30)(T-20)+A_3(T-40)(T-30)(T-20)+A_4(T-50)(T-40)(T-30)(T-20)+A_5(T-60)(T-50)(T-40)(T-30)(T-20) [/mm] $
an den Stellen der [mm] A_i [/mm] die errechneten Zahlen.
Was hast Du nun? Du hast ein Polynom vom Grad 5 (überzeug' Dich davon.), welches durch Deine Meßpunkte geht, so daß Du davon ausgehen kannst, daß der Temperaturverlauf hierdurch angenähert wird.
Und diese Näherung hilft Dir nun bei der Bestimmung der Dichte bei 37°C. Du setzt einfach für T die 37 ein, und rechnest aus, was Du bekommst.
> Total verrückter Ansatz auf den ich nie gekommen wäre und
> so richtig verstehen wie Newton das erkannt hat tu ich auch
> nicht, naja stures einsetzten würd ich dann doch noch
> schaffen, nur reichen wird das eben nicht...
Mit der Mathematik im Nebenfach ist das ja so eine Sache.
Vielleicht mußt Du Dih von dem Gedanken trennen, alles verstehen zu müssen.
Manchmal muß man sich einfach einen Ruck geben und sagen: ich verstehe jetzt zwar nicht, wo diese Formeln herkommen und was sie sollen, aber ich mache das jetzt einfach mal nach Anleitung. Oft ist es sogar so, daß man die Sachen, wenn man's mehrfach getan hat, plötzlich versteht.
Ich verstehe weder meine Waschmaschine, noch meinen Mikrowellenherd. Aber ich weiß, was ich wo reinstecken muß, und was es bewirkt, und so komme ich echt besser klar, als wenn mit beides nicht zur Verfügung stünde.
> in der Schule
> hatte ich ja nie Mathe Probleme (immer so um die 2)
Ja, ich weiß, wie das ist. In der Schule ist alles leicht. Da versteht man alles, und weiß bei allem ziemlich genau, was man tut, und die Umstellung ist schwer.
> aber
> mit der Unimathe komm ich nicht klar, bin wohl oder übel
> doch zu "dumm" für sowas, auch wenns entäuschend klingt
> aber man muss sich nunmal mit der Wahrheit abfinden, egal
Gegen die Wahrheit anzukämpfen, das hat keinen Sinn und verbraucht unnötige Energien.
Bloß manchmal ist die Wahrheit eine andere, als das, was man für wahr hält.
Ich habe viele eher trübe Lichter die nötigen Mathescheine bestehen sehen.
Wenn Du Dein Fach ansonsten magst und zurecht kommst, dann solltest Du nicht vorschnell aufgeben.
Gruß v. Angela
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