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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 30.07.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Berechnen Sie näherungsweise die Nullstelle von f, indem Sie einen Startwert schätzen und einige Iterationen des Newtonverfahrens rechnen:
[mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{1+x^{2}}-10^{-5}, [/mm] 0 < x < 10 (Zeichnung!) |
Hallöchen. Da bin ich mal wieder 
Also ich habe diese Aufgabe gemacht, oder zumindest versucht.
Ich habe die Funktion gezeichnet, was so aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Eine Nullstelle schätzen geht ja irgendwie nicht, weil es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, da sich die Kurve nur annähert.
0 kann man auch nicht nehmen, weil wenn man das in die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens einsetzt, also in
[mm] x_{i+1}=x_{i}-\bruch{f(x_{i})}{f'(x_{i})}, [/mm] ergibt sich für [mm] x_{1} [/mm] eine 0 im Nenner, was ja nicht definiert ist.
Was heißt das jetzt? Wenn ich das zeichne, was ja auch in der Aufgabe verlangt wird, sehe ich ja das es keine NS gibt. Oder muss ich da noch was anderes machen?
Wäre echt lieb wenn mir jemand was dazu sagen könnte.
Danke schonmal.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Eine Nullstelle gibt es durchaus !
Deine Zeichnung ist etwas ungenau.
Es ist $f(0) = [mm] -10^{-5}<0$ [/mm] und $f(1) = [mm] \bruch{1}{2}-10^{-5}>0$
[/mm]
Der Zwischenwertsatz besagt nun: f hat im Intervall(0,1) eine Nullstelle
Es ist auch f(1/4)>0, also hat f sogar in (0,1/4) eine Nullstelle
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 30.07.2009 | | Autor: | tynia |
ok. also könnte ich dann als startwert [mm] -10^{-5} [/mm] nehmen? kann ich das eigentlich immer so machen, dass ich in die Funktion für x 0 einsetzte und das dann als meinen geschätzten Startwert nehme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 30.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tynia!
> ok. also könnte ich dann als startwert [mm]-10^{-5}[/mm] nehmen?
Nein, denn dieser Wert ist negativ und die Funktion für diesen Wert nicht definiert ist.
> kann ich das eigentlich immer so machen, dass ich in die
> Funktion für x 0 einsetzte und das dann als meinen
> geschätzten Startwert nehme?
Du solltest immer ein Intervall ermitteln, innerhalb dessen die Nullstelle liegen muss. Dann einen dieser beiden Intervallgrenzen als Startwert nehmen.
Hier wäre durchaus sinnvoll: [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Do 30.07.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Ich danke dir und versuche das jetzt mal.
LG
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