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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Di 05.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
| Aufgabe | Ermittle alle Schnittpunkte der Funktion:
f(x)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + x
und
g(x) = [mm] 2-x^{2}
[/mm]
mithilfe des Newtonverfahrens. Starte dabei mit einem frei gewählten Startpunkten und stoppe die Iteration, wenn sich die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert. |
Hallo Matheraum,
wieder einmal eine Frage von mir (hoffentlich bin ich in diesem Teil des Forums richtig).
Mein Lösungsansatz wäre:
die beiden Funktionen gleichsetzen:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + x = [mm] 2-x^{2}
[/mm]
danach eine Seite "auf Null setzen"
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] x^{4} [/mm] + x -2 + [mm] x^{2}= [/mm] 0
(das würde ich nun als das f(x) in der Newton Formel ansehen)
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{f(x)}{f´(x)}
[/mm]
nun die erste Ableitung von f(x) erstellen, also f´(x).
Das wäre:
f´(x)= [mm] 4x^{3}+2x+1/3 [/mm]
Nun wähle ich (weil ich keine Ahnung habe wie ich einen besseren bekommen soll) 1 als Startwert.
Die Newtonformel wäre dann:
[mm] x_{0+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{\bruch{1}{2} + 1^{4} + 1 -2 + 1^{2}}{4*1^{3}+2*1+1/3}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{0,5 + 1 + 1 -2 + 1}{4 +2 +1/3}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1,5}{6,33}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 0,763157
[mm] x_{2} [/mm] = 0,708291
Denn dieser Newton Abschnitt [mm] (x_{3}) [/mm] gibt bei mir folgendes:
[mm] x_{3} [/mm] = 0,708291 - [mm] \bruch{0,5 + 0,708291 ^{4} + 0,708291 -2 + 0,708291^{2}}{4*0,708291^{3}+2*0,708291+1/3}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 0,708291 - [mm] \bruch{-0,03872}{3,1704333}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 0,696078 (was mich schon wundert, weil es hier in die andere Richtung geht....)
und da liegt auch mein Problem ... Vielleich weiß einer einen Rat.
Gruß
Jack2k
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> Ermittle alle Schnittpunkte der Funktion:
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + x
> und
> g(x) = [mm]2-x^{2}[/mm]
>
> mithilfe des Newtonverfahrens. Starte dabei mit einem frei
> gewählten Startpunkten und stoppe die Iteration, wenn sich
> die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
>
> Hallo Matheraum,
>
> wieder einmal eine Frage von mir (hoffentlich bin ich in
> diesem Teil des Forums richtig).
> Mein Lösungsansatz wäre:
>
> die beiden Funktionen gleichsetzen:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + x = [mm]2-x^{2}[/mm]
>
> danach eine Seite "auf Null setzen"
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]x^{4}[/mm] + x -2 + [mm]x^{2}=[/mm] 0
> (das würde ich nun als das f(x) in der Newton Formel
> ansehen)
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] - [mm]\bruch{f(x)}{f´(x)}[/mm]
>
> nun die erste Ableitung von f(x) erstellen, also f´(x).
> Das wäre:
> f´(x)= [mm]4x^{3}+2x+1/3[/mm]
hallo,
wo genau hast du die 1/3 her?!
>
> Nun wähle ich (weil ich keine Ahnung habe wie ich einen
> besseren bekommen soll) 1 als Startwert.
>
> Die Newtonformel wäre dann:
> [mm]x_{0+1}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{\bruch{1}{2} + 1^{4} + 1 -2 + 1^{2}}{4*1^{3}+2*1+1/3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{0,5 + 1 + 1 -2 + 1}{4 +2 +1/3}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] =
> 1 - [mm]\bruch{1,5}{6,33}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = 0,763157
>
> [mm]x_{2}[/mm] = 0,708291
>
> Denn dieser Newton Abschnitt [mm](x_{3})[/mm] gibt bei mir
> folgendes:
> [mm]x_{3}[/mm] = 0,708291 - [mm]\bruch{0,5 + 0,708291 ^{4} + 0,708291 -2 + 0,708291^{2}}{4*0,708291^{3}+2*0,708291+1/3}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = 0,708291 - [mm]\bruch{-0,03872}{3,1704333}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = 0,696078 (was mich schon wundert, weil es hier in
> die andere Richtung geht....)
> und da liegt auch mein Problem ... Vielleich weiß einer
> einen Rat.
>
> Gruß
> Jack2k
>
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo Fencheltee,
das ist meine Ableitung von f(x) = [mm] \bruch{1}{2}+x^{4}+x-2+x^{2}
[/mm]
Den Bruch habe ich über
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] 1^{-2} [/mm] = -2 * [mm] 1^{-3} [/mm] = -2 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = daher [mm] \bruch{-2}{3}
[/mm]
[mm] x^{4} [/mm] = [mm] 4x^{3}
[/mm]
x = 1
-2 (da Konstante, verschwindet)
[mm] x^{2} [/mm] = 2x
Somit [mm] \bruch{-2}{3} [/mm] + [mm] 4x^{3} [/mm] + 2x + 1 = [mm] 4x^{3} [/mm] + 2x + [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
ich hoffe damit habe ich richtig gelegen ?
Gruß
Jack2k
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> Hallo Fencheltee,
>
> das ist meine Ableitung von f(x) =
> [mm]\bruch{1}{2}+x^{4}+x-2+x^{2}[/mm]
>
> Den Bruch habe ich über
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]1^{-2}[/mm] = -2 * [mm]1^{-3}[/mm] = -2 * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] =
> daher [mm]\bruch{-2}{3}[/mm]
> [mm]x^{4}[/mm] = [mm]4x^{3}[/mm]
> x = 1
> -2 (da Konstante, verschwindet)
> [mm]x^{2}[/mm] = 2x
hallo,
1/2 ist doch genauso eine konstante wie die -2?! oder hast du noch irgendwo ein x vergessen? ist so nicht nachvollziehbar
>
> Somit [mm]\bruch{-2}{3}[/mm] + [mm]4x^{3}[/mm] + 2x + 1 = [mm]4x^{3}[/mm] + 2x +
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> ich hoffe damit habe ich richtig gelegen ?
>
> Gruß
> Jack2k
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo Fencheltee,
irgendwie hast du recht...
aber ich steige noch nicht dahinter wieso ?
Gruß
Jack2k
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo,
erst einmal danke für all die Antworten. Nachdem ich nun meinen Fehler gefunden habe (eine Konstanste abgeleitet ist gleich 0, X abgeleitet wird zu 1) komme ich nun zu den Lösungen
f(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x - [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
sowie
f'(x) = [mm] 4x^3 [/mm] +2x + 1
Nun habe ich aber das Problem, das f'(x) nicht in der "Form" für die pq Formel ist, und ich auch leider keine Idee habe wie ich f'(x) in diese bekommen soll. Natürlich würde es nun noch die Mitternachtsformel geben, aber die passt ja nur bei quadratischen Gleichungen also habe ich mal Google bemüht und bin auf die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia gestoßen (http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln). Diese Formel habe ich aber leider nicht bei mir in den Heften mit drinnen, also kann das eigentlich auch nicht sein.
Nun wird guter Rat wieder selten...
Gruß
Jack2k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 11.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Du hast dies als Mitteilung eingestellt. Damit bewirkst Du, dass das, wenn überhaupt, nur von denen gelesen wird, die bisher auch bei der Diskussion waren. Also: Fragen als Fragen stellen.
Du hast über dem Ableiten die eigentliche Aufgabenstellung vergessen. E sind nicht die Nullstellen der ersten Ableitung gesucht. Du sollst die erste Ableitung verwenden, um die Nullstellen von f(x) zu finden. Am besten verschaffst Du Dir mit einem Plot einen Überblick über den Verlauf des Funktionsgraphen. Dann setzt Du dich auf einen Punkt in der Nähe einer Nullstelle und peilst mit Hilfe von f'(x) eine Schätzung der Nullstelle an. Mit dieser Schätzung verschaffst Du Dir auf die gleiche Art die nächste, bessere Schätzung. Sobald genug stabile Stellen im Ergebnis stehen, kannst Du aufhören.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Jack2k |
Hallo chrisno,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Nun endlich habe ich es auch verstanden und hab die Punkte
x1/y1 = 0,7181 / 1,48
x2/y2 = -1,0891 / 0,81
ausgerechnet.
Da ich diese beiden x-Werte dann in die "ursprüngliche Formel" eingesetzt habe und die beiden Formeln sich erst ab der 3. Stelle unterscheiden (also der y-wert) , werde ich nun hoffentlich verstanden haben wie es geht (bei der "Schnittpunktbestimmung").
Bei der Nullstellenbestimmung muss es ja (das mit den qubischen haben wir noch nicht, daher kann der Leher es noch nicht fragen) mit der "pq Formel" oder mit der "Mitternachtsformel" gehen.
Würde es noch eine Methode für das Newton Verfahren geben (nicht das ich genau die die ich brauche, nicht begreife !)
Gruß
Jack2k
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Mo 11.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> ...
> Da ich diese beiden x-Werte dann in die "ursprüngliche
> Formel" eingesetzt habe und die beiden Formeln sich erst ab
> der 3. Stelle unterscheiden (also der y-wert) , werde ich
> nun hoffentlich verstanden haben wie es geht (bei der
> "Schnittpunktbestimmung").
Eigentlich gehört dazu, dass als Kriterium zum Beispiel angegeben wird: So lange, bis die ersten 5 Ziffern übereinstimmen.
>
> Bei der Nullstellenbestimmung muss es ja (das mit den
> qubischen haben wir noch nicht, daher kann der Leher es
> noch nicht fragen) mit der "pq Formel" oder mit der
> "Mitternachtsformel" gehen.
Du hast doch die Schnittstellenbestimmung in eine Nullstellenbestimmung umgewandelt. Das Newtonverfahren funktioniert für viele Funktionen, aber nicht immer. Du bekommst aber nur eine Näherungslösung und auch nur eine Dezimalzahl. Es gibt also kein Ergebns der Art $x= [mm] \sqrt{5}$. [/mm] Daher ist die pq-Formel immer vorzuziehen. Die gilt aber nur für quadratische Funktionen. Ähnliche, aber kompliziertere Formeln gibt es für kubische Funktionen. Da verzichtet man aber heutzutage auf die Lösung mit den Formeln sondern lässt sich das Ergbenis vom Rechner liefern.
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> Würde es noch eine Methode für das Newton Verfahren geben
> (nicht das ich genau die die ich brauche, nicht begreife
> !)
Verstehe ich nicht.
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