Neyman-Pearson-Test < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien X und Y stochastisch unabhängig Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Parametern [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu.
[/mm]
Konstruieren sie einen Neyman-Pearson-Test für die Hypothese [mm] $H_{0}:\lambda [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] gegen die Alternativhypothese [mm] $H_{1}:\lambda [/mm] > [mm] \mu$ [/mm] |
Hallo!
Als Hinweis ist mir gegeben, dass ich die bedingte Verteilung von X gegeben das Ereignis {X+Y = k} betrachten soll.
Ich habe nun schon berechnet, dass diese bedingte Verteilung eine Binomialverteilung ist der Form
[mm] $\IP(X=n|X+Y=k) [/mm] = [mm] \vektor{k\\n}*\left(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)^{n}*\left(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^{k-n}$
[/mm]
D.h. (X=n|X+Y=k) ~ [mm] bin(\frac{\lambda}{\lambda+\mu},k) [/mm] Nun kann ich die alten Hypothesen ja auf diese Verteilung übertragen, und erhalte:
[mm] H_{0}: p_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] --> [mm] \IP
[/mm]
[mm] H_{1}: p_{1} [/mm] > [mm] \frac{1}{2} [/mm] --> Q
Dafür haben wir schon berechnet, dass der Likelihood-Quotient monoton wachsend ist, d.h. der beste Test hat die Form
[mm] $\phi^{*}(\omega):=\begin{cases}H_{0},\quad n < n*\\ H_{1}\quad n \ge n*\end{cases}$
[/mm]
wobei n* bestimmt wird durch das vorgegebene Niveau [mm] \alpha [/mm] und die Gleichung [mm] $\IP(n\ge [/mm] n*) = [mm] \alpha$ [/mm] (Fehler 1. Art).
Nun meine eigentliche Frage: Wie komme ich von diesem Test für die Binomialverteilung wieder zurück zu meinem Test für die beiden Poisson-Verteilungen, also wie konstruiere ich jetzt damit den eigentlich gesuchten Test?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
