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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Turis |
| Aufgabe | Gibt es eine nicht-abelsche Gruppe G mit der Eigenschaft [mm] a^3 [/mm] = e für alle a [mm] \in [/mm] G?
(e ist das neutrale Element und der Verknüpfung [mm] \* [/mm] ) |
Hallo!
Ich knobel jetzt schon einige Tage an der Aufgabe, allerdings weiß ich nicht einmal ob ich versuchen soll die Frage zu bejaen oder zu verneinen.
Tendenziell denke ich eher nein, kann es aber nicht beweisen.
Bisherigen Ideen:
Da [mm] a^3 [/mm] = e wird wohl die Ordnung der Elemente (höchstens?) 3 sein, das heißt, da die ord(a) die ord(G) teilt, ord(G) muss mindestens 6 sein, damit es nicht-abelsch ist. Denn bei geringerer Ordnung haben wir eine zyklische Gruppe oder eben eine Gruppe mit Ordnung kleiner gleich 4 (und damit abelsch).
Ich wäre sehr erfreut über einen Rat welche Antwort ich beweisen soll und einen Tipp wie ich da ran gehen könnte!
Vielen Dank,
Turis
PS: Ich habe die Frage bisher nur in diesem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mo 13.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
deine überlegungen sind alle richtig. du kannst dir auch noch überlegen, dass $|G| = [mm] 3^k$ [/mm] gelten muss.
ein sehr weitgehender tipp (einfach so auf diese idee zu kommen, halte ich für recht schwierig): betrachte mal die menge [mm] $\left\{\left( \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) : a, b, c \in \mathbb{F}_3 \right\} \subseteq \textrm{GL}(3, [/mm] 3)$, wobei [mm] $\mathbb{F}_3 [/mm] = [mm] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] den körper mit $3$ elementen bezeichne. kannst du zeigen, dass dies eine gruppe ist? erfüllt diese die gewünschten eigenschaften? wenn ja, wie könnte man das zeigen?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Turis |
Oh, danke!
Tatsächlich hatte ich schon etwas ähnliches ausprobiert, nämlich die Matrizen mit [mm] a^3=0, [/mm] dummerweise weigerte sich die Null-Matrix das neutrale Element der Multiplikation zu sein :/ ;)
Dann untersuch ich das mal. :)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Turis |
Danke, hat prima geklappt! 
Grüße
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