Nicht-Auflösbarkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Die Auflösbarkeit einer impliziten Funktion kann man ja mithilfe der Sätze über implizite Funktionen zeigen. Wie ist es aber mit der Nicht-Auflösbarkeit? Ein Professor von mir hat dazu gezeigt, dass die Funktion an der relevanten Stelle dem Satz über implizite Funktionen nicht genügt, und an der Stelle nicht diffbar ist, wobei ich dieses Argument nicht ganz verstehe...
Könnte mir das vlt. jemand genauer erklären?
[mm]g:e^{x+y}+xy=0\quad g':e^{x+y}+x=0\quad e^{x+y}(1+y')+y+xy'=0\quad 1(1+y')+1-y'=0\quad 2=0[/mm]
Den ersten beiden Bedingungen genügt g an der Stelle (-1,1) dann wird abgeleitet und eingesetzt->Wiederspruch.
Vielen Dank!
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Die Auflösbarkeit einer impliziten Funktion kann man ja
> mithilfe der Sätze über implizite Funktionen zeigen. Wie
> ist es aber mit der Nicht-Auflösbarkeit? Ein Professor von
> mir hat dazu gezeigt, dass die Funktion an der relevanten
> Stelle dem Satz über implizite Funktionen nicht genügt,
> und an der Stelle nicht diffbar ist, wobei ich dieses
> Argument nicht ganz verstehe...
> Könnte mir das vlt. jemand genauer erklären?
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> [mm]g:e^{x+y}+xy=0\quad g':e^{x+y}+x=0\quad e^{x+y}(1+y')+y+xy'=0\quad 1(1+y')+1-y'=0\quad 2=0[/mm]
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> Den ersten beiden Bedingungen genügt g an der Stelle
> (-1,1) dann wird abgeleitet und eingesetzt->Wiederspruch.
Was Du schreibst ist ein ziemliches Durcheinander !
Setzen wir [mm] g(x,y):=e^{x+y}+xy
[/mm]
Dann ist $g(-1,1)= 0$, [mm] $g_y(x,y)= e^{x+y}+x$, [/mm] also [mm] $g_y(-1,1)= [/mm] 0$
Somit sind die Voraussetzungen des Satzes über implizit def. Funktionen nicht erfüllt
Was ist jetzt genau Deine Frage ?
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Angelika
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Hallo!
Ja, der Satz über implizite Funktionen ist nicht erfüllt aber das ist ja noch nicht hinreichend für die Nicht-Auflösbarkeit. Eine Funktion kann ja auch an einer Stelle auflösbar sein obwohl sie dort den Satz über implizite Funktionen nicht genügt. Ich suche nach einer hinreichenden Bedingung.
Mein Professor hat dazu gezeigt(Wenn ich es nicht falsch verstanden habe, das oben ist aber bereits der Tafelabschrieb):
a) genügt an der Stelle nicht dem Satz über implizite Funktionen
b) Ist an der Stelle nicht diffbar
Argument b habe ich auch für die spezielle Funktion oben hingeschrieben. Wenn man an der Stelle (-1,1) ableitet erhält man einen Wiederspruch was doch die Nicht-Diffbarkeit impliziert oder?
Meine Frage ist jetzt, warum man so argumentieren kann, bzw. wie man alternativ argumentieren könnte.
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ja, der Satz über implizite Funktionen ist nicht erfüllt
> aber das ist ja noch nicht hinreichend für die
> Nicht-Auflösbarkeit. Eine Funktion kann ja auch an einer
> Stelle auflösbar sein obwohl sie dort den Satz über
> implizite Funktionen nicht genügt. Ich suche nach einer
> hinreichenden Bedingung.
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> Mein Professor hat dazu gezeigt(Wenn ich es nicht falsch
> verstanden habe, das oben ist aber bereits der
> Tafelabschrieb):
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> a) genügt an der Stelle nicht dem Satz über implizite
> Funktionen
> b) Ist an der Stelle nicht diffbar
Welche Funktion soll an welcher Stelle nicht differenzierbar sein ??
FRED
>
> Argument b habe ich auch für die spezielle Funktion oben
> hingeschrieben. Wenn man an der Stelle (-1,1) ableitet
> erhält man einen Wiederspruch was doch die
> Nicht-Diffbarkeit impliziert oder?
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> Meine Frage ist jetzt, warum man so argumentieren kann,
> bzw. wie man alternativ argumentieren könnte.
>
> Gruß
>
> Angelika
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Es ist wie ich es am Bsp. vorgezeigt habe. Die Funktion g wird in (-1,1) nach x differenziert als könne man sie nach y auflösen, dann erhält man einen Wiederspruch und davon wird irgendie auf die Nicht-Auflösbarkeit geschlossen. Wie im Detail weiß ich auch nicht, das ist gerade meine Frage...
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
O.K. jetzt weiß ich Bescheid
Angenommen, man kann die Gleichung [mm] e^{x+y}+xy=0 [/mm] in einer Umgebung von (-1,1) differenzierbar nach y auflösen.
Dann gibt es eine Umgebung U von -1 und eine differenzierbare Funktion h:U [mm] \to \IR [/mm] mit h(-1)=1 und
[mm] $e^{x+h(x)}+xh(x)=0$ [/mm] für jedes x in U.
Differenziert man nach x, so erhält man
[mm] $e^{x+h(x)}(1+h'(x))+h(x)+xh'(x) [/mm] =0 $ für jedes x in U.
Für x=1 erhält man ( beachte h(-1)=1):
$1+h'(1)+1-h'(1)= 0$,
also 2=0, Widerspruch !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 01.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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