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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Do 21.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \beta: [/mm] V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] eine symmetrische Bilinearform und W:= [mm] ker(\beta)
[/mm]
Zeige dass [mm] \overline{\beta} [/mm] V/W [mm] \times [/mm] V/W -> [mm] \IK [/mm] ,
[mm] \overline{\beta} [/mm] ([v],[v']):= [mm] \beta(v,v'),
[/mm]
eine wohldefenierte symetrische bilearform defeniert, die nicht degeneriert ist. |
hei,
Alles gezeigt bis auf die nicht degeneriertheit.
Nicht degeneriert , d.h wenn es kein w [mm] \in [/mm] V mit [mm] w\not= [/mm] 0 mit <v,w> =0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V gibt.
Sei also für v und v' [mm] \in [/mm] V
[mm] \overline{\beta} [/mm] ([v],[v']) = [mm] \beta(v,v)=0
[/mm]
<=> v [mm] \in [/mm] W oder v' [mm] \in [/mm] W
<=> [v] =0 oder [v'] =0
Ich bin da nicht so sicher mit der ARgumentation.
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Hallo,
> Sei [mm]\beta:[/mm] V [mm]\times[/mm] V -> [mm]\IK[/mm] eine symmetrische Bilinearform
> und W:= [mm]ker(\beta)[/mm]
[mm] =\{w\in V| \beta (w,v)=0 \quad fuer \quad alle v\in V\}.
[/mm]
(so ist der Kern einer Bilinearform doch definiert, oder?)
> Zeige dass [mm]\overline{\beta}[/mm] V/W [mm]\times[/mm] V/W -> [mm]\IK[/mm] ,
> [mm]\overline{\beta}[/mm] ([v],[v']):= [mm]\beta(v,v'),[/mm]
> eine wohldefenierte symetrische bilearform defeniert, die
> nicht degeneriert ist.
(Achtung: das heißt definiert und symmetrisch.)
>
> hei,
>
> Alles gezeigt bis auf die nicht degeneriertheit.
> Nicht degeneriert , d.h wenn es kein w [mm]\in[/mm] V mit [mm]w\not=[/mm] 0
> mit <v,w> =0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V gibt.
>
> Sei also für v und v' [mm]\in[/mm] V
> [mm]\overline{\beta}[/mm] ([v],[v']) = [mm]\beta(v,v)=0[/mm]
> <=> v [mm]\in[/mm] W oder v' [mm]\in[/mm] W
Nein, dieser Schluß stimmt nicht, was Du siehst, wenn Du Dir anschaust, wie der Kern einer Bilinearform definiert ist.
Du hast aber auch falsch angesetzt.
Zeigen möchtest Du ja, daß, sofern Du ein [w] hast, welches zu allen [v] orthogonal ist bzgl [mm] \overline{\beta}, [/mm] folgt, daß [w]=[0], also [mm] w\in [/mm] W.
LG Angela
> <=> [v] =0 oder [v'] =0
>
> Ich bin da nicht so sicher mit der ARgumentation.
>
</v,w>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Do 21.06.2012 | | Autor: | sissile |
> Zeigen möchtest Du ja, daß, sofern Du ein [w] hast, welches zu allen [v] orthogonal ist bzgl $ [mm] \overline{\beta}, [/mm] $ folgt, daß [w]=[0], also $ [mm] w\in [/mm] $ W.
Ich verstehe nicht ganz was der Begriff der Orthogonalität hier bedeutet.
Ich habe die Othogonale gruppe kennengelernt:
O(V, [mm] \beta):= \{\phi \in GL(V) | \forall v,w \in V : \beta(\phi(v),\phi(w)=\beta(v,w)\}
[/mm]
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Hallo,
> > Zeigen möchtest Du ja, daß, sofern Du ein [w] hast,
für welches gilt, daß [mm] $\overline{\beta}([w],[v])=0$ [/mm] für alle [v],
> folgt, daß [w]=[0], also [mm]w\in[/mm] W.
LG Angela
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